Операторный метод расчета переходного процесса

При операторном методе расчета дифференциальное уравнение переходного процесса представляют в виде изображения по Лапласу, находят корни характеристического полинома и по формулам Хевисайда вычисляют математическое описание переходного процесса [1, 2].

Если изображение переходного процесса по Лапласу имеет вид:

(1.6.66)

где Y(p), G(p), F(p) — изображения выходной величины, задающего и возмущающего воздействий; D(p) — характеристический полином; B(p), C(p) — полиномы влияния задающего и возмущающего воздействий на выходную величину Y(p); N(p) — полином учета ненулевых начальных условий при t=0:

(1.6.67)

то переходный процесс x(t) определяется из (1.6.66) суммой составляющих, которые рассчитываются отдельно, а затем суммируются. Каждая составляющая в (1.6.66) рассчитывается в зависимости от типа корней характеристического уравнения D(p)=0 по соответствующим формулам Хевисайда.

1. При отсутствии нулевых и кратных корней — по формуле:

(1.6.68)

где si — корни характеристического уравнения D(p)=0, значения которых подставляются в полиномы (1.6.68); D1(si) — первая производная от полинома D1(p)=dD(p)/dp при замене р значением корней si.

2. При одном нулевом корне и отсутствии кратных корней — по формуле:

(1.6.69)

где значения постоянных величин D0(0), B(0), C(0), N(0) получаются из соответствующих полиномов в (1.6.69) при p=s=0.

3. При комплексно-сопряжённых корнях каждая составляющая переходного процесса для каждого комплексно-сопряжённого корня вычисляется отдельно, а затем суммируется с другими составляющими. Каждая отдельная составляющая переходного процесса, например от задающего воздействия g(t), соответствующая корню , вычисляется по формуле [1, 2]:

(1.6.70)

где

Пример 1.6.10. Рассчитать переходную функцию САУ при задающем воздействии g(t)=1(t) и нулевых начальных условиях, если операторное уравнение САУ D(p)Y(p)=B(p)G(p) имеет вид:

(1.6.71)

Характеристическое уравнение из (1.6.71) получается в виде:

(1.6.72)

его корни имеют значения

Производная от по р из (1.6.72) определяется выражением:

(1.6.73)

По формуле (1.6.69) вычисляем оригинал переходной функции:

(1.6.74)

Для приведения слагаемых аргумента косинуса к одинаковой размерности в градусах в аргументе косинуса угловая скорость β=15,3 рад/c умножена на 57,3 градуса в радиане.

По (1.5.64) можно рассчитать и построить график переходного процесса и определить его показатели качества — время переходного процесса tПП=1,57с, перерегулирование σ=0,59, ошибку регулирования в установившемся режиме