При огромном физическом разнообразии звеньев САУ количество их математических моделей ограничено числом типовых линейных дифференциальных уравнений, описывающих процессы независимо от их физической природы. Поэтому различные звенья представляются в САУ типовыми динамическими звеньями, математические модели которых описываются линейными дифференциальными уравнениями не выше второго порядка (табл. 1.2.1) [1, 2].
Типовые динамические звенья делятся на четыре группы по виду зависимости выходной величины x2 от входного воздействия x1 в установившихся режимах работы: 1) позиционные — выходная величина пропорциональна входному воздействию x2=Kx1; 2) интегрирующие — выходная величина пропорциональна интегралу от входного воздействия x2=K∫x1dt; 3) дифференцирующие — выходная величина пропорциональна первой производной по времени от входного воздействия x2=K dx1/dt; 4) запаздывающие — выходная величина равна входой величине, сдвинутой в текущем времени на время запаздывания τx2=x1(t – τ) [1, 2].
В переходных режимах работы динамические свойства звеньев и САУ определяются их временными и частотными характеристиками [1, 2]. Передаточные функции, переходные и весовые функции, амплитудно-фазовые характеристики (АФХ), амплитудные частотные характеристики (АЧХ), фазовые частотные характеристики (ФЧХ), логарифмические амплитудные (ЛАЧХ) и фазовые (ЛФЧХ) частотные характеристики типовых динамических звеньев приведены в таблице 1.2.1.
Пример 1.2.1. Рассмотрим методику получения временных и частотных характеристик на примере позиционного апериодического (инерционного) звена первого порядка (табл. 1.2.1, п. 2), имеющего передаточную функцию
(1.2.1)
Таблица 1.2.1 — Характеристики типовых динамических звеньев
Тип звена и его передаточная функция |
Временные характеристики позиционных звеньев |
|
Переходная функция h(t) |
Функция веса w(t) |
|
1. Безынерционное W(p) = K |
|
|
2. Апериодическое 1-го порядка W(p)= |
|
|
3. Апериодическое 2-го порядка |
|
|
4. Колебательное q=1/T |
|
|
Продолжение табл. 1.2.1
Частотные характеристики позиционных звеньев |
||
Амплитудно-фазовая |
Амплитудная и фазовая |
Логарифмические |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение табл. 1.2.1
Тип звена и его передаточная функция |
Временные характеристики позиционных звеньев |
|
Переходная функция h(t) |
Функция веса w(t) |
|
5. Идеальное W(p) = K/p, K = 1/T |
|
|
6. С замедлением |
|
|
7. Изодромное |
|
|
Временные характеристики дифференцирующих звеньев |
||
8. Идеальное W(p) = K p |
|
|
9. С замедлением |
|
|
10. Форсирующее W(p) = K(1+Tp) |
|
|
Временные характеристики звена запаздывания на постоянное время τ |
||
11. Запаздывающее W(p) = e– τp |
|
|
Окончание табл. 1.2.1
Частотные характеристики интегрирующих звеньев |
||
Амплитудно-фазовая |
Амплитудная и фазовая |
Логарифмические |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частотные характеристики дифференцирующих звеньев |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частотные характеристики звена запаздывания на постоянное время τ |
||
|
|
|
Дифференциальное уравнение процесса управления получается из (1.2.1) в виде:
(1.2.2)
где T — постоянная времени звена; K — коэффициент передачи звена.
Переходная функция звена h(t)=x2(t) получается в виде суммы общего и частного решений дифференциального уравнения (1.2.2) при нулевых начальных условиях и подаче на вход единичного ступенчатого воздействия x1(t)=1[t]
(1.2.3)
где p=–1/T — корень характеристического уравнения Тр+1=0; С=–K