Линеаризация уравнений звена

Наличие в САУ звеньев, описываемых нелинейными уравнениями, очень затрудняет анализ и синтез CАУ. Поэтому при проектировании САУ используются приближенные линеаризованные математические модели нелинейных звеньев путем линеаризации их нелинейных уравнений. При невозможности линеаризации уравнений звеньев для анализа и синтеза САУ приходится использовать сложные, но опять приближенные методы расчётов нелинейных САУ, в том числе методы численных расчётов (методы моделирования) с применением ЭВМ.

Линеаризация нелинейных уравнений звеньев САУ основана на предположении о малости отклонений переменных величин (координат) от их установившихся (заданных, программных) значений в процессе управления, что является целью функционирования любой САУ.

В общем случае нелинейное уравнение звена, на примере уравнения второго порядка типового звена, может быть записано в виде:

(1.3.1)

Каждая переменная величина (координата) в (1.3.1) может быть представлена суммой установившегося (программного, заданного) значения и отклонения от него в процессе управления:

(1.3.2)

В установившихся режимах все отклонения равны нулю, и тогда из (1.3.1) с учётом (1.3.2) получается нелинейное уравнение статики звена:

(1.3.3)

Приближенное линеаризованное уравнение нелинейного процесса управления можно получить из (1.3.1) разложением его в степенной ряд Тейлора при учёте только линейных членов ряда и подстановок значений координат из (1.3.2):

(1.3.4)

где частные производные функции F, взятые по соответствующим координатам и обозначенные с нуликом вверху соответствуют подстановкам в их выражения вместо переменных координат их установившихся значений , а члены второго и высших порядков малости не учитываются и т.д.

Вычитая из линеаризованного уравнения (1.3.4) уравнение статики (1.3.3), получим линеаризованное уравнение процесса в отклонениях от установившегося режима — уравнение динамики звена в отклонениях:

(1.3.5)

в типовой форме (1.1.1) уравнение динамики звена (1.3.5) запишется в виде:

(1.3.6)

Линеаризацию уравнений можно производить и графически по заданной нелинейности F(x1) в окрестностях рабочей точки установившегося режима F(x10) (рис.1.3.1). Разложив нелинейное уравнение (1.3.1) в ряд Тейлора с учётом только линейных членов ряда, получим приближённое линеаризованное уравнение звена в виде:

(1.3.7)

Уравнение (1.3.7) можно разделить на два уравнения:

, (1.3.8)

которые соответственно связывают установившиеся значения переменных (уравнение статики) и отклонения переменных от рабочей точки (уравнение динамики). При этом для динамических процессов в отклонениях переменных величин (координат) САУ начало координат переносится в рабочую точку О1, характеризующую установившийся режим работы (рис. 1.3.1).

Рис.1.3.1 — Линеаризация нелинейной функции

в окрестностях рабочей точки

Пример 1.3.1. Рассмотрим пример линеаризации математического описания процессов в электродвигателе постоянного тока независимого регулируемого возбуждения с учётом нелинейности зависимости его магнитного потока возбуждения от величины тока в обмотке возбуждения Ф(iВ), называемой кривой намагничивания двигателя. Характер этой кривой в окрестностях рабочей точки представлен на рис. 1.3.1 и на рис. 1.3.2.

Расчётная схема электродвигателя приведена на рис. 1.3.2, где обозначено: UВ, iВ, RВ, LВ, Ф — напряжение, ток, сопротивление, индуктивность и магнитный поток обмотки возбуждения двигателя; UЯ, iЯ, RЯ, LЯ, Е — напряжение, ток, сопротивление, индуктивность и противо-ЭДС обмотки якоря двигателя; J, , M— момент инерции, угловая скорость вращения, вращающий момент двигателя; МС — момент сопротивления движению вала электродвигателя со стороны приводимой в действие рабочей машины РМ.

Параметры двигателя принимаем постоянными. Считаем, что начальные ненулевые условия заданы установившимися начальными значениями величин UВО, iВО, ФО, UЯО, ЕО, , МО, МСО. Управляемая выходная величина — скорость вращения вала двигателя зависит от значений управляющих величин напряжения UЯ на обмотке якоря и напряжения UВ на обмотке возбуждения двигателя, а также от значения возмущающего воздействия — величины момента МС сопротивления движению рабочей машины.

Рис. 1.3.2 — Расчётная схема электродвигателя

Выразим все переменные величины суммами их установившихся значений и отклонений от установившихся значений:

(1.3.9)

С использованием только линейных членов разложения в ряд Тейлора нелинейности по формуле (1.3.4), проведём линеаризацию кривой намагничивания двигателя в окрестностях рабочей точки, определённой начальными условиями:

Ф (iВ) = ФО (iВО)+. (1.3.10)

Составим уравнения электрического равновесия для цепей обмотки возбуждения и обмотки якоря и уравнение механического равновесия для системы «двигатель — рабочая машина»:

(1.3.11)

(1.3.12)

(1.3.13)

где

(1.3.14)

(1.3.15)

(1.3.16)

В уравнениях (1.3.14) и (1.3.15) не учтены величины второго порядка малости (произведения отклонений величин), как это было принято при отбрасывании членов ряда Тейлора второго и более высоких порядков малости при линеаризации нелинейной функции в уравнениях (1.3.4) и (1.3.10).

Из уравнений (1.3.11)—(1.3.16) при отсутствии отклонений величин от начальных установившихся значений получаются уравнения статики, описывающие установившиеся режимы работы двигателя:

(1.3.17)

Из уравнений (1.3.17), исключив промежуточные (внутренние) переменные методом подстановок, получаем общее уравнение статики для установившихся режимов работы электродвигателя:

(1.3.18)

При учёте в (1.3.11)—(1.3.16) только отклонений величин от рабочей точки (от начального установившегося режима) получаются уравнения динамики в отклонениях:

(1.3.19)

При замене в уравнениях (1.3.19) обозначений операций дифференцирования (d/dt) = p, получаем уравнения динамики электродвигателя в операторной форме, из которых методом подстановок получается общее операторное уравнение динамических процессов в отклонениях от установившегося режима работы электродвигателя:

(1.3.20)

где ТЯ = LЯ/RЯ — электромагнитная постоянная времени цепи обмотки якоря; ТВ = LВ/RВ — электромагнитная постоянная времени цепи обмотки возбуждения; ТМ = J RЯ/СМ СЕ (ФО)2 — электромеханическая постоянная времени двигателя.

Из операторного уравнения (1.3.20) можно получить три частные передаточные функции электродвигателя в отклонениях от установившегося режима при управлении скоростью вращения вала двигателя

а) по управляющему напряжению питания цепи обмотки якоря (при отсутствии отклонений от начальных значений напряжения на обмотке возбуждения и момента сопротивления нагрузки ):

(1.3.21)

б) по управляющему напряжению питания цепи обмотки возбуждения (при отсутствии отклонений UЯ = 0 и МС = 0):

(1.3.22)

в) по возмущающей величине момента нагрузки на валу двигателя от сопротивления движению со стороны рабочей машины (при отсутствии отклонений UЯ=0 и UВ=0):

(1.3.23)

Контрольные вопросы

1. Как получить дифференциальное уравнение нелинейного звена, где раздельно учтены установившиеся (заданные) значения переменных величин (координат) и их малые отклонения в окрестностях рабочей точки от установившегося режима?

2. Как получить линеаризованное дифференциальное уравнение нелинейной функции разложением её в ряд Тейлора с учётом только линейных членов ряда?