Дискретный аналог критерия Найквиста

Устойчивость замкнутой дискретной САУ с единичной обратной связью можно определить по ЗФП разомкнутой САУ с использованием дискретного аналога критерия Найквиста либо логарифмических псевдочастотных характеристик. Для устойчивости замкнутой САУ её АФХ в разомкнутом состоянии САУ не должна охватывать точку (–1, j0) на комплексной плоскости, а запаздывание по фазе в логарифмической фазовой псевдочастотной характеристике не должно достигать –1800 при единичном коэффициенте передачи [1, 2]. При использовании ЗФП W(z) разомкнутой САУ её АФХ становится периодической функцией с периодом 2p/Т. Например, если разомкнутая САУ состоит из импульсного элемента, экстраполятора нулевого порядка и интегратора и имеет ЗФП:

(2.3.13)

то АФХ, получаемая при подстановке в (2.3.13), будет описываться выражением:

(2.3.14)

АФХ (2.3.14) разомкнутой дискретной САУ является трансцендентной функцией, неудобной для расчетов. Поэтому вводится понятие псевдочастотных характеристик, получаемых из передаточных функций W(z) при использовании w-преобразования и применения соотношения (2.3.3). В таком случае из (2.3.13) при подстановке (2.3.3) получим w-функцию передачи в виде:

(2.3.15)

После введения в (2.3.15) подстановки w=jλT/2 из (2.3.5) получим амплитудно-фазовую псевдочастотную характеристику (АФПЧХ) разомкнутой САУ с ЗФП W(z) из (2.3.13) в виде:

(2.3.16)

где — абсолютная псевдочастота из (2.3.5).

Амплитудная псевдочастотная характеристика (АПЧХ) запишется в виде:

(2.3.17)

Логарифмическая амплитудная псевдочастотная характеристика (ЛАПЧХ) будет:

1(2.3.18)

ЛАПЧХ по (2.3.18) представляется двумя асимптотами: 1) с наклоном –20 дБ/дек при 2) горизонтальной при Эти асимптоты сопрягаются при частоте . Частота среза определяется из равенства нулю выражения (2.3.18) или равенства единице АПЧХ по (2.3.17), откуда

(2.3.19)

Фазовая псевдочастотная характеристика (ФПЧХ) из (2.3.16) представляется в виде:

(2.3.20)

Фазовое запаздывание изменяется от –90° при λ→0 до –180° при псевдочастоте λ→∞, при частоте среза λС=2/T запаздывание по фазе составляет –135°.

Устойчивость замкнутых дискретных САУ определяется по логарифмическим псевдочастотным характеристикам так же, как и для непрерывных САУ. При псевдочастоте среза ЛАПЧХ угол фазового запаздывания не должен достигать минус 180°, на частоте среза определяется запас устойчивости по фазе . Запас устойчивости по модулю определяется на частоте, при которой фазовое запаздывание достигает минус 180° (рис. 2.3.2), аналогично тому, как это делается для непрерывных САУ.

Рис. 2.3.2 — Логарифмические псевдочастотные характеристики

Контрольные вопросы

1. Как определить устойчивость замкнутой дискретной САУ по корням характеристического полинома ЗФП Ф(z)?

2. Как определить устойчивость замкнутой дискретной САУ с использованием дискретного аналога алгебраического критерия Гурвица?

3. Как по характеристическому уравнению замкнутой дискретной САУ определить устойчивость с использованием дискретного аналога частотного критерия Михайлова?

4. Как определить устойчивость замкнутой дискретной САУ по её АФХ W(jω) в разомкнутом состоянии по критерию Найквиста?

5. Как получить ЛАПЧХ и ЛФПЧХ разомкнутой дискретной САУ и определить по ним устойчивость замкнутой дискретной САУ?