Характеристики случайных воздействий

В САУ на процессы влияют не только детерминированные управляющие и возмущающие воздействия, но также и случайные внешние и внутренние воздействия [1, 2, 6, 8, 19, 20]. Внешние случайные воздействия порождаются влиянием внешней среды в виде электромагнитных помех, резких изменений нагрузки, напряжения электропитания и т.д. Внутренние случайные воздействия возникают при работе собственных устройств САУ при переключениях электрических цепей, коммутации тока в электрических машинах, выпрямителях и других преобразователях, а также вследствие случайных искажений информации, наличия шумов в датчиках, усилителях и других элементах.

Случайными называются величины и процессы, значения которых в функции времени определить невозможно. Но некоторые случайные величины и процессы подчиняются статистическим закономерностям, основанным на оценках вероятности их реализации (осуществления). Такие величины и процессы называются стохастическими и описываются статистическими (вероятностными) характеристиками. Случайные величины и процессы, не подчиняющиеся статистическим закономерностям, называются хаотическими (беспорядочными) [1, 2, 6].

Анализ и синтез САУ, работающих при случайных стохастических воздействиях, изучается статистической динамикой систем управления, которая является составной частью теории управления и в то же время относится к общей теории случайных процессов [1, 2, 6].

В данном разделе рассматриваются задачи оценки и минимизации влияния случайных стохастических воздействий на точность (ошибки) линейных одномерных САУ с постоянными параметрами.

Каждое случайное воздействие на САУ называется реализацией случайной функции. Совокупность множества реализаций случайной функции называется самой случайной функцией, зависящей от определённого аргумента функции. Случайные функции, для которых аргументом (независимой переменной) является время, называются случайными процессами [1, 2]. Случайный процесс x(t) включает совокупность множества реализаций случайного процесса, группирующихся вокруг среднего значения случайного процесса . При постоянном среднем значении =const случайный процесс называется стационарным и его статистические (вероятностные) характеристики не зависят от времени (рис. 3.1.1, а). При изменении среднего значения (t) во времени случайный процесс называется нестационарным и его характеристики зависят от времени (рис. 3.1.1, б) [1, 2].

Рис. 3.1.1 — Стационарный и нестационарный случайные процессы

Вероятностные характеристики дискретных воздействий определяются законом распределения случайной дискретной величины. Например, при случайном стационарном процессе бросания симметричного оцифрованного шестигранника (независимо от времени) выпадение любой из шести цифр от x1=1 до x6=6 будет при каждом эксперименте случайным событием. При повторении этого эксперимента бесконечное число раз n→∞ частота события выпадения каждой из шести цифр называется вероятностью события. При этом вероятность событий характеризуется равномерным (равновероятностным) законом распределения случайной величины xi в интервале чисел 1≤ xi≤ 6 (3.1.1) и невероятным в интервалах xi<1 и xi>6 (рис. 3.1.2, а)

(3.1.1)

при выполнении обязательного очевидного условия

Примером закона распределения случайной дискретной величины в аналитической форме является закон Пуассона (рис. 3.1.2, б) [1, 2]

(3.1.2)

где P(x) — вероятность принятия случайной величиной значения x; λ — среднее значение случайной величины при числе опытов n→∞.

Рис. 3.1.2 — Законы распределения случайной дискретной величины

Интегральным законом распределения F(x), или функцией распределения F(x), случайной дискретной величины называется вероятность того, что текущее значение ξ случайной величины примет значение, меньшее чем значение x

F(x)=PX(ξ<x)= (3.1.3)

где F(x)→1 при x→∞ [1, 2]. Например, для равновероятностного закона распределения P(x) случайной дискретной величины x при бесконечном бросании оцифрованного шестигранника (рис. 3.1.2, а), интегральный закон распределения (функция распределения) F(x) по (3.1.3) будет характеризовать вероятность принятия случайной величиной возможных значений ξ, меньших значения x, следующим образом (рис. 3.1.3, а): при ξ

Функция распределения дискретной случайной величины, изменяющейся от 0 до ∞ по закону Пуассона (3.1.2), по (3.1.3) будет иметь вид бесконечной лестницы (рис. 3.1.3, б) до F(x)=1 при x→∞.

Законы распределения полностью характеризуют случайные дискретные воздействия на САУ, но для расчётов используются следующие более простые осреднённые характеристики случайных величин, выражающиеся обыкновенными неслучайными числами [1].

Среднее значение или математическое ожидание M[x] случайной дискретной величины:

(3.1.4)

Для шестигранника среднее значение

Момент m-го порядка случайной величины выражает обобщённые понятия средних значений случайной величины

(3.1.5)

Например, момент нулевого порядка при m=0 выражает условие для (3.1.1) и всегда равен единице. Момент первого порядка выражает среднее значение случайной величины по (3.1.4). Момент второго порядка выражает среднее значение квадрата случайной величины

(3.1.6)

Характеристикой рассеяния случайной дискретной величины x от ее среднего значения является случайная величина отклонения Средним отклонением