Стационарные случайные процессы

Стационарные случайные процессы имеют независимые от времен статистические характеристики и очень важное свойство эргодичности — равенства средних по множеству и средних по времени значений статистических характеристик случайных величин [1, 2]

(3.2.1)

В (3.2.1) среднее значение по множеству определяется по (3.1.15), а среднее значение по времени определяется за время наблюдения от –Т до+Т по одной из реализаций (рис. 3.2.1):

(3.2.2)

Рис. 3.2.1 — Одна из реализаций стационарного случайного процесса

Среднее значение квадрата по множеству определяется по (3.1.16), а среднее значение квадрата по времени — по выражению

(3.2.3)

Универсальной характеристикой стационарного случайного процесса (рис. 3.2.1) является корреляционная (автокорреляционная) функция, равная среднему по времени произведению двух значений величин x(t) и x(t+τ) на интервале наблюдения от –Т до+Т в любые два момента времени, отличающихся на небольшой интервал τ

(3.2.4)

При τ=0 из выражения (3.2.4) получается

(3.2.5)

т.е. при τ=0 корреляционная функция равна среднему значению квадрата случайного процесса по времени и по множеству.

Часто в САУ входное воздействие состоит из суммы полезного сигнала g(t) и сигнала помехи f(t). Корреляционную функцию K0(τ) для сигнала x0(t)=g(t)+f(t) можно по (3.2.4) найти по выражению:

(3.2.6)

где — взаимные корреляционные функции

(3.2.7)

Если процессы не зависят друг от друга, то их взаимные корреляционные функции равны нулю.

По корреляционным функциям, с учетом эргодичности стационарных случайных процессов, определяются их основные статистические характеристики: среднее значение (момент первого порядка) среднеквадратичное значение (момент второго порядка) дисперсия среднеквадратичное отклонение

Корреляционные функции обладают универсальностью, но расчёты получаются сложными [1, 2]. Для расчётов проще использовать спектральную плотность случайного процесса, пропорциональную средней мощности случайного процесса в интервале частот от ω до ω+dω [1,2].

Энергия процесса определяется интегральной зависимостью от квадрата случайной величины во времени. САУ описываются дифференциальными уравнениями, и случайные процессы описываются на бесконечно малых интервалах времени, на которых величина энергии стремится к нулю. Поэтому при расчётах удобнее оперировать не с энергией, а со средней мощностью процесса во времени, получаемой делением энергии процесса на время наблюдения. Для этого используется энергетическая форма интеграла Фурье, преобразующего функцию x(t) в её изображение Фурье F(jω) [1, 2]:

(3.2.8)

(3.2.9)

Квадрат модуля изображения Фурье, проинтегрированный по всем частотам, дает выражение:

(3.2.10)

где представлен произведением F(jω) и F(–jω), а F(jω) заменено по (3.2.8) [1, 2].

Изменив порядок интегрирования в (3.2.10), получим [1, 2]:

(3.2.11)

В (3.2.11) выражение в квадратных скобках по (3.2.9) есть исходная функция x(t), и тогда из (3.2.11) получается формула Релея, соответствующая энергетической форме интеграла Фурье [1, 2]:

. (3.2.12)

Средняя мощность процесса x(t) за время от –Т до+Т получается из (3.2.12) за время 2Т в виде:

(3.2.13)

Последнее равенство в (3.2.13) подставлено из (3.2.3).

Если в (3.2.13) обозначить

(3.2.14)

то формулу (3.2.13) можно записать в виде:

(3.2.15)

Величина S(ω) называется спектральной плотностью мощности или просто спектральной плотностью стационарного случайного процесса x(t), численно равной его дисперсии или среднему квадрату по времени и по множеству (вследствие эргодичности).

Спектральная плотность S(ω) стационарного случайного процесса однозначно связана с корреляционной функцией K(τ) процесса в виде прямого и обратного преобразования Фурье [1, 2, 8]:

(3.2.16)

(3.2.17)

При воздействиях на САУ двух взаимосвязанных стационарных процессов g(t) и f(t) с корреляционными функциями их взаимные спектральные плотности определятся формулами:

. (3.2.18)

Вычисление спектральной плотности по (3.2.14) затруднено необходимостью предельного перехода, проще использовать формулы (3.2.16) и (3.2.18) для определения S(ω) случайного процесса по его корреляционной функции K(τ).

Для случайного стационарного процесса вид графика спектральной плотности S(ω) определяется выбором типового закона, аналогично выбору закона распределения плотности вероятности w(x) [2]. Так, для случайного процесса типа «белый шум» с ограниченной спектральной плотностью вид закона S(ω) аналогичен закону w(x) (рис. 3.1.6, а) при S(ω)=c, a=–ω0, b=+ω0; вид закона нормального распределения S(ω) аналогичен закону Гаусса (рис. 3.1.6, б) и т.д.

Зависимость S(ω) отражает характер изменений случайной величины x(t) во времени — чем шире спектр частот случайного сигнала, тем быстрее изменяется x(t) во времени и наоборот. Вид графика S(ω) случайного процесса x(t) также связан с видом графика корреляционной функции K(τ) — более «широкому» графику S(ω) соответствует более «узкий» график K(τ) и наоборот [2]. В [2, 8] и другой литературе приведены таблицы соответствия S(ω) значениям K(τ) для разных типовых случайных процессов, основанные на двустороннем преобразовании Фурье, а также методические указания по использованию этих таблиц при расчетах процессов в САУ.