Понятие устойчивости нелинейных САУ

Понятие устойчивости в нелинейных САУ оказывается более сложным, чем в линейных САУ. Впервые понятие и основные теоремы устойчивости нелинейных систем в 1892 г. сформулировал основоположник теории устойчивости русский ученый А.М. Ляпунов [1, 2, 6, 12, 19].

Для определения устойчивости нелинейной САУ предположим, что её состояние описывается системой дифференциальных уравнений

(4.3.1)

Из совокупности возможных решений уравнений (4.3.1) при разных начальных условиях выберем одно решение с начальными условиями , которое по терминологии А.М. Ляпунова примем за невозмущенное движение, а всякое другое движение с другими начальными условиями будем называть возмущенным движением.

Обычно за невозмущенное движение выбирается расчетное движение системы в рабочем режиме, а возмущенное движение появляется при изменении начальных условий или внешних воздействий.

Устойчивость удобнее рассматривать, используя уравнения в отклонениях процесса yi(t) от невозмущенного движения [19]

(4.3.2)

Тогда система уравнений возмущенного движения в отклонениях

2.1.616 (4.3.3)

а невозмущенное движение в отклонениях будет иметь все

В фазовом пространстве в координатах отклонений xi(t) с добавленной осью времени t отклонение невозмущенного движения представляется прямой линией, совпадающей с осью времени t, а отклонение возмущенного движения xi(t) имеет определенную фазовую траекторию (рис. 4.3.1).

Рис. 4.3.1 — Фазовые траектории системы в отклонениях

Невозмущенное движение называется устойчивым по Ляпунову, если, задав в фазовом пространстве координат системы трубку сколь угодно малого n-мерного сечения ε>0, можно подобрать такую область начальных условий δ(ε)>0 для всех возмущенных движений xi(t), что при изменении t0 ≤ t ≤ ∞ они не выйдут из заданной трубки ε.

Аналитически понятие устойчивости формулируется так: невозмущенное движение называется устойчивым по Ляпунову, если для всякого сколь угодно малого ε>0 можно указать такое δ(ε)>0, что при

(4.3.4)

при движении системы при всех значениях t≤ t0 выполняется условие

(4.3.5)

Невозмущенное движение неустойчиво, если условие (4.3.5) не выполняется хотя бы для одной из координат

Если (4.3.4) и (4.3.5) выполняются, и все при , то невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым. Если при t→∞ после любых начальных отклонений, то система называется устойчивой в целом. САУ с абсолютной устойчивостью обладают асимптотической устойчивостью в целом при любом из типов нелинейностей определенного класса.

Для определения устойчивости автоколебаний вводится понятие орбитальной устойчивости САУ. При этом в фазовом пространстве автоколебания представляются замкнутой кривой, называемой предельным циклом, которую обегает изображающая точка за время одного периода колебаний.

В нелинейных системах, в отличие от линейных, устойчивость равновесия не означает устойчивости всех процессов, поскольку свойства нелинейной системы изменяются при изменении координат состояния системы. Например, нелинейная САУ второго порядка при наличии предельного цикла имеет устойчивость в состоянии равновесия, но оказывается неустойчивой при больших начальных воздействиях, выходящих за границу предельного цикла, т.е. САУ устойчива в малом и неустойчива в большом.