Математические модели САУ

Для математического описания САУ по её функциональной схеме (рис. В1) определяется состав её отдельных звеньев, связанных друг с другом и с внешней средой. Основными формами представления операторов преобразования входных переменных g(t) и f(t) в переменные выхода y(t) в конечномерных линейных непрерывных стационарных детерминированных моделях звеньев и САУ являются линейные дифференциальные уравнения, операторные функции передачи, временные и частотные характеристики [1, 2, 6].

Линейные дифференциальные уравнения описывают процессы, происходящие в каждом звене САУ в виде зависимости выходной величины x2(t) от входного воздействия x1(t). Эти уравнения называются математическими моделями звеньев и для звеньев разной физической природы составляются по законам соответствующей науки (механики, электротехники, термодинамики и др.), нелинейные уравнения линеаризуются. Совокупность уравнений (математических моделей) взаимосвязанных звеньев САУ образуют систему дифференциальных уравнений САУ, называемую математической моделью САУ [1, 2, 6].

Для описания математической модели САУ обычно используют три способа [1, 2]:

1) поэлементное описание САУ с учётом взаимодействия каждого звена с другими звеньями и с внешней средой, при этом модель САУ описывается системой дифференциальных уравнений, учитывающих все параметры звеньев, входные и выходные величины (координаты) процессов управления, что обеспечивает возможность физической интерпретации всех процессов управления;

2) системное описание САУ представляется одним уравнением, которое получается из поэлементного описания САУ методом подстановок для исключения промежуточных координат процесса управления и учитывает только зависимость выходного процесса (выходной величины) САУ от входного процесса (входных величин) при утрате возможностей физической интерпретации процессов управления, происходящих внутри САУ;

3) векторно-матричное описание САУ в пространстве переменных состояния системы, позволяющее учитывать все параметры и переменные величины (координаты) САУ и вести расчёты с применением ЭВМ при возможности физической интерпретации происходящих процессов управления в САУ.

См. также:  Качество переходного процесса

Операторная функция передачи (ОФП) (передаточная функция) является важнейшим математическим описанием звена или САУ. ОФП получается из дифференциального уравнения в операторной форме при нулевых начальных условиях (1.1.3) в виде отношения изображений по Лапласу переменных выхода и входа. ОФП широко применяемая в операторно-структурном методе расчета САУ с использованием алгоритмических структурных схем [1, 2, 6]:

Математические модели САУ (1.1.4)

Временными характеристиками звена или САУ являются переходная функция h(t) и весовая функция w(t) [1, 2, 6].

Переходной функцией (переходной характеристикой) h(t)= =x2(t) звена или САУ называется реакция звена или САУ (переходный процесс выходной величины x2(t)) на единичное ступенчатое входное воздействие x1(t)=1[t] при нулевых начальных условиях.

Весовой функцией (функцией веса, импульсной переходной характеристикой) w(t)=x2(t) звена или САУ называется их реакция на единичное импульсное входное воздействие x1(t)=δ(t) (дельта-функцию или функцию Дирака) при нулевых начальных условиях. Дельта-функция или функция Дирака получается при дифференцировании единичной ступенчатой функции δ(t)==d1[t]/dt, при этом δ(t)=0 в любой момент времени t, кроме t=0, где величина импульса стремится к бесконечности при бесконечно малой продолжительности импульса, а площадь импульса равна единице ∫δ(t)dt=1. Весовая функция w(t) связана с переходной функцией h(t) операцией дифференцирования w(t)=dh(t)/dt.

Частотными характеристиками звена или САУ называются зависимости от частоты ω значений амплитуды А2(ω) и фазового сдвига φ(ω) выходной величины x2(t)=A2(ω) sin(wt+j) в установившихся режимах работы при единичном синусоидальном входном воздействии x1(t)=A1sinwt=1sinωt и изменении частоты ω от 0 до ∞ [1, 2, 6].

Основной частотной характеристикой звена или САУ является амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) (частотная передаточная функция, комплексный коэффициент передачи) W(jw), которая получается из передаточной функции (ОФП) W(p) звена или САУ при замене p=jw и изменении частоты ω от 0 до ¥. Например, для звена с ОФП (1.1.4) выражение АФХ запишется

См. также:  Частотный метод синтеза САУ

Математические модели САУ(1.1.5)

где U(w), V(w) — вещественная и мнимая составляющие вектора W(jw); Математические модели САУ— амплитудная частотная характеристика (АЧХ); j(w)=arctg[V(w)/U(w)] — фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

В расчетах САУ часто используются логарифмические частотные характеристики.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) звена или САУ строится в прямоугольной системе координат, где по оси ординат в линейном масштабе указывается величина ЛАЧХ в децибелах

L(w)=20lg½W(jw)½=20 lg A(w), (1.1.6)

а по оси абсцисс в логарифмическом масштабе указывается частота ω в 1/с (при этом равномерные изменения частоты в 10 раз представляются декадами). Децибел равен 1/10 бела. Бел равен десятичному логарифму отношения мощностей на выходе и входе звена или пропорциональному мощностям отношению квадратов напряжений, токов, скоростей или других физических величин (1бел=lgP2/P1=lgU22/U12). Поэтому в (1.1.6) множитель 20=2