Линеаризация уравнений звена

Наличие в САУ звеньев, описываемых нелинейными уравнениями, очень затрудняет анализ и синтез CАУ. Поэтому при проектировании САУ используются приближенные линеаризованные математические модели нелинейных звеньев путем линеаризации их нелинейных уравнений. При невозможности линеаризации уравнений звеньев для анализа и синтеза САУ приходится использовать сложные, но опять приближенные методы расчётов нелинейных САУ, в том числе методы численных расчётов (методы моделирования) с применением ЭВМ.

Линеаризация нелинейных уравнений звеньев САУ основана на предположении о малости отклонений переменных величин (координат) от их установившихся (заданных, программных) значений в процессе управления, что является целью функционирования любой САУ.

В общем случае нелинейное уравнение звена, на примере уравнения второго порядка типового звена, может быть записано в виде:

Линеаризация уравнений звена (1.3.1)

Каждая переменная величина (координата) в (1.3.1) может быть представлена суммой установившегося (программного, заданного) значения и отклонения от него в процессе управления:

Линеаризация уравнений звена (1.3.2)

В установившихся режимах все отклонения равны нулю, и тогда из (1.3.1) с учётом (1.3.2) получается нелинейное уравнение статики звена:

Линеаризация уравнений звена (1.3.3)

Приближенное линеаризованное уравнение нелинейного процесса управления можно получить из (1.3.1) разложением его в степенной ряд Тейлора при учёте только линейных членов ряда и подстановок значений координат из (1.3.2):

Линеаризация уравнений звена (1.3.4)

где частные производные функции F, взятые по соответствующим координатам и обозначенные с нуликом вверху соответствуют подстановкам в их выражения вместо переменных координат их установившихся значений Линеаризация уравнений звена, а члены второго и высших порядков малости не учитываются Линеаризация уравнений звенаи т.д.

Вычитая из линеаризованного уравнения (1.3.4) уравнение статики (1.3.3), получим линеаризованное уравнение процесса в отклонениях от установившегося режима — уравнение динамики звена в отклонениях:

Линеаризация уравнений звена(1.3.5)

в типовой форме (1.1.1) уравнение динамики звена (1.3.5) запишется в виде:

Линеаризация уравнений звена

(1.3.6)

См. также:  Динамическая устойчивость САУ

Линеаризацию уравнений можно производить и графически по заданной нелинейности F(x1) в окрестностях рабочей точки установившегося режима F(x10) (рис.1.3.1). Разложив нелинейное уравнение (1.3.1) в ряд Тейлора с учётом только линейных членов ряда, получим приближённое линеаризованное уравнение звена в виде:

Линеаризация уравнений звена (1.3.7)

Уравнение (1.3.7) можно разделить на два уравнения:

Линеаризация уравнений звена Линеаризация уравнений звена, (1.3.8)

которые соответственно связывают установившиеся значения переменных (уравнение статики) и отклонения переменных от рабочей точки (уравнение динамики). При этом для динамических процессов в отклонениях переменных величин (координат) САУ начало координат переносится в рабочую точку О1, характеризующую установившийся режим работы (рис. 1.3.1).

Линеаризация уравнений звена

Рис.1.3.1 — Линеаризация нелинейной функции

в окрестностях рабочей точки

Пример 1.3.1. Рассмотрим пример линеаризации математического описания процессов в электродвигателе постоянного тока независимого регулируемого возбуждения с учётом нелинейности зависимости его магнитного потока возбуждения от величины тока в обмотке возбуждения Ф(), называемой кривой намагничивания двигателя. Характер этой кривой в окрестностях рабочей точки представлен на рис. 1.3.1 и на рис. 1.3.2.

Расчётная схема электродвигателя приведена на рис. 1.3.2, где обозначено: , , , , Ф — напряжение, ток, сопротивление, индуктивность и магнитный поток обмотки возбуждения двигателя; , iЯ, RЯ, LЯ, Е — напряжение, ток, сопротивление, индуктивность и противо-ЭДС обмотки якоря двигателя; J, Линеаризация уравнений звена, M— момент инерции, угловая скорость вращения, вращающий момент двигателя; МС — момент сопротивления движению вала электродвигателя со стороны приводимой в действие рабочей машины РМ.

Параметры двигателя принимаем постоянными. Считаем, что начальные ненулевые условия заданы установившимися начальными значениями величин UВО, iВО, ФО, UЯО, ЕО, Линеаризация уравнений звена, МО, МСО. Управляемая выходная величина — скорость Линеаризация уравнений звенавращения вала двигателя зависит от значений управляющих величин напряжения на обмотке якоря и напряжения на обмотке возбуждения двигателя, а также от значения возмущающего воздействия — величины момента МС сопротивления движению рабочей машины.

См. также:  Операторный метод расчета переходного процесса

Линеаризация уравнений звена

Рис. 1.3.2 — Расчётная схема электродвигателя

Выразим все переменные величины суммами их установившихся значений и отклонений от установившихся значений:

Линеаризация уравнений звена (1.3.9)

С использованием только линейных членов разложения в ряд Тейлора нелинейности по формуле (1.3.4), проведём линеаризацию кривой намагничивания двигателя в окрестностях рабочей точки, определённой начальными условиями:

Ф () = ФО (iВО)+Линеаризация уравнений звенаЛинеаризация уравнений звена. (1.3.10)

Составим уравнения электрического равновесия для цепей обмотки возбуждения и обмотки якоря и уравнение механического равновесия для системы «двигатель — рабочая машина»:

Линеаризация уравнений звена (1.3.11)

Линеаризация уравнений звена(1.3.12)

Линеаризация уравнений звена (1.3.13)

где Линеаризация уравнений звена

Линеаризация уравнений звена(1.3.14)

Линеаризация уравнений звена

Линеаризация уравнений звена(1.3.15)

Линеаризация уравнений звена (1.3.16)

В уравнениях (1.3.14) и (1.3.15) не учтены величины второго порядка малости (произведения отклонений величин), как это было принято при отбрасывании членов ряда Тейлора второго и более высоких порядков малости при линеаризации нелинейной функции в уравнениях (1.3.4) и (1.3.10).

Из уравнений (1.3.11)—(1.3.16) при отсутствии отклонений величин от начальных установившихся значений получаются уравнения статики, описывающие установившиеся режимы работы двигателя:

Линеаризация уравнений звена(1.3.17)

Из уравнений (1.3.17), исключив промежуточные (внутренние) переменные методом подстановок, получаем общее уравнение статики для установившихся режимов работы электродвигателя:

Линеаризация уравнений звена (1.3.18)

При учёте в (1.3.11)—(1.3.16) только отклонений величин от рабочей точки (от начального установившегося режима) получаются уравнения динамики в отклонениях:

Линеаризация уравнений звена

Линеаризация уравнений звена

Линеаризация уравнений звена (1.3.19)

При замене в уравнениях (1.3.19) обозначений операций дифференцирования (d/dt) = p, получаем уравнения динамики электродвигателя в операторной форме, из которых методом подстановок получается общее операторное уравнение динамических процессов в отклонениях от установившегося режима работы электродвигателя:

Линеаризация уравнений звена(1.3.20)

где ТЯ = LЯ/RЯ — электромагнитная постоянная времени цепи обмотки якоря; ТВ = LВ/RВ — электромагнитная постоянная времени цепи обмотки возбуждения; ТМ = J RЯ/СМ СЕ (ФО)2 — электромеханическая постоянная времени двигателя.

Из операторного уравнения (1.3.20) можно получить три частные передаточные функции электродвигателя в отклонениях от установившегося режима при управлении скоростью вращения вала двигателя Линеаризация уравнений звена

См. также:  МикроЭВМ ремиконта

а) по управляющему напряжению Линеаризация уравнений звенапитания цепи обмотки якоря (при отсутствии отклонений от начальных значений напряжения на обмотке возбуждения Линеаризация уравнений звенаи момента сопротивления нагрузки Линеаризация уравнений звена):

Линеаризация уравнений звена (1.3.21)

б) по управляющему напряжению Линеаризация уравнений звенапитания цепи обмотки возбуждения (при отсутствии отклонений Линеаризация уравнений звенаUЯ = и Линеаризация уравнений звенаМС = 0):

Линеаризация уравнений звена

(1.3.22)

в) по возмущающей величине момента нагрузки Линеаризация уравнений звенана валу двигателя от сопротивления движению со стороны рабочей машины (при отсутствии отклонений Линеаризация уравнений звенаUЯ= и Линеаризация уравнений звенаUВ=0):

Линеаризация уравнений звена (1.3.23)

Контрольные вопросы

1. Как получить дифференциальное уравнение нелинейного звена, где раздельно учтены установившиеся (заданные) значения переменных величин (координат) и их малые отклонения в окрестностях рабочей точки от установившегося режима?

2. Как получить линеаризованное дифференциальное уравнение нелинейной функции разложением её в ряд Тейлора с учётом только линейных членов ряда?