Критерий устойчивости Гурвица

Для оценки устойчивости замкнутой САУ по её характеристическому уравнению вида (1.6.3) разработаны алгебраические (аналитические) критерии устойчивости Рауса, Гурвица, Шур—Кона, Льенара—Шипара и других авторов, одинаковых по существу, но различающихся по форме [1, 2, 6]. Например, Раус в 1877 г. предложил критерий устойчивости в алгоритмической форме, а Гурвиц в 1895 г. — в удобной форме определителей, получившей наибольшее распространение.

По критерию устойчивости Гурвица для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы при a>0 все диагональные определители матрицы и сам определитель Гурвица (1.6.4), составленный по определенным правилам из коэффициентов характеристического уравнения САУ, были положительными.

Для неустойчивой САУ определитель Гурвица имеет отрицательное значение, а на границе устойчивости САУ — равен нулю.

Критерий устойчивости Гурвица(1.6.4)

Диагональные определители матрицы Гурвица (n×n):

2.1.125 Критерий устойчивости Гурвица; Критерий устойчивости Гурвица; Критерий устойчивости Гурвица

С использованием критерия Гурвица и других критериев устойчивости можно строить границы устойчивости и выделять области устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического уравнения или параметров САУ.

К недостаткам критерия Гурвица и других алгебраических критериев относится трудность вычисления аналитической связи между параметрами и устойчивостью в САУ выше пятого порядка (n>5) из-за того, что одни и те же параметры САУ одновременно входят в несколько коэффициентов характеристического уравнения. В таких случаях можно выполнять расчеты на ЭВМ с применением пакетов прикладных программ [2, 6].

Пример 1.6.1. Исследуем по критерию Гурвица устойчивость замкнутой САУ с единичной обратной связью, если её ОФП в разомкнутом состоянии

2.1.129 Критерий устойчивости Гурвица(1.6.5)

Разомкнутая САУ неустойчива из-за бесконечного возрастания выходной величины, т. к. характеристическое уравнение имеет нулевой корень р1=0.

Передаточная функция САУ в замкнутом состоянии запишется в виде

Критерий устойчивости Гурвица(1.6.6)

Характеристическое уравнение замкнутой САУ имеет вид:

Критерий устойчивости Гурвица(1.6.7)

Вычислим определители Гурвица по (1.6.3) для уравнения (1.6.7):

См. также:  Реализация регуляторов в CАУ

2.1.136 Критерий устойчивости Гурвица(1.6.8)

2.1.137 Критерий устойчивости Гурвица(1.6.9)

2.1.138 Критерий устойчивости Гурвица(1.6.10)

2.1.139 Критерий устойчивости Гурвица(1.6.11)

Из полученных определителей Гурвица условие устойчивости замкнутой САУ определяется неравенством (1.6.10), которое можно представить в трехмерном виде:

2.1.141 Критерий устойчивости Гурвица(1.6.12)