Критерий устойчивости Гурвица

Для оценки устойчивости замкнутой САУ по её характеристическому уравнению вида (1.6.3) разработаны алгебраические (аналитические) критерии устойчивости Рауса, Гурвица, Шур—Кона, Льенара—Шипара и других авторов, одинаковых по существу, но различающихся по форме [1, 2, 6]. Например, Раус в 1877 г. предложил критерий устойчивости в алгоритмической форме, а Гурвиц в 1895 г. — в удобной форме определителей, получившей наибольшее распространение.

По критерию устойчивости Гурвица для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы при a0>0 все диагональные определители матрицы и сам определитель Гурвица (1.6.4), составленный по определенным правилам из коэффициентов характеристического уравнения САУ, были положительными.

Для неустойчивой САУ определитель Гурвица имеет отрицательное значение, а на границе устойчивости САУ — равен нулю.

Критерий устойчивости Гурвица(1.6.4)

Диагональные определители матрицы Гурвица (n×n):

2.1.125 Критерий устойчивости Гурвица; Критерий устойчивости Гурвица; Критерий устойчивости Гурвица

С использованием критерия Гурвица и других критериев устойчивости можно строить границы устойчивости и выделять области устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического уравнения или параметров САУ.

К недостаткам критерия Гурвица и других алгебраических критериев относится трудность вычисления аналитической связи между параметрами и устойчивостью в САУ выше пятого порядка (n>5) из-за того, что одни и те же параметры САУ одновременно входят в несколько коэффициентов характеристического уравнения. В таких случаях можно выполнять расчеты на ЭВМ с применением пакетов прикладных программ [2, 6].

Пример 1.6.1. Исследуем по критерию Гурвица устойчивость замкнутой САУ с единичной обратной связью, если её ОФП в разомкнутом состоянии

2.1.129 Критерий устойчивости Гурвица(1.6.5)

Разомкнутая САУ неустойчива из-за бесконечного возрастания выходной величины, т. к. характеристическое уравнение имеет нулевой корень р1=0.

Передаточная функция САУ в замкнутом состоянии запишется в виде

Критерий устойчивости Гурвица(1.6.6)

Характеристическое уравнение замкнутой САУ имеет вид:

Критерий устойчивости Гурвица(1.6.7)

Вычислим определители Гурвица по (1.6.3) для уравнения (1.6.7):

2.1.136 Критерий устойчивости Гурвица(1.6.8)

2.1.137 Критерий устойчивости Гурвица(1.6.9)

2.1.138 Критерий устойчивости Гурвица(1.6.10)

2.1.139 Критерий устойчивости Гурвица(1.6.11)

Из полученных определителей Гурвица условие устойчивости замкнутой САУ определяется неравенством (1.6.10), которое можно представить в трехмерном виде:

2.1.141 Критерий устойчивости Гурвица(1.6.12)