Инвариантность САУ

Инвариантностью САУ называется независимость некоторых её выходных переменных величин от входных воздействий. Большой вклад в развитие теории инвариантности внесли Г.В.Щипанов, Н.Н. Лузин, Б.Н. Петров, В.С. Кулебакин и другие ученые [1, 2, 6].

В САУ управляемая переменная выходая величина y(t) зависит от задающего g(t) и возмущающего f(t) воздействий. В инвариантных САУ управляемая переменная выхода y(t) должна быть инвариантной (независимой) от возмущающего воздействия f(t) и ковариантной (близко совпадающей) с задающим воздействием y(t) ≈ g(t) [1, 2, 6].

САУ является инвариантной к возмущающему воздействию f(t), если после завершения переходного процесса выходная величина y(t) и ошибка управления e(t)=g(t)y(t) не зависят от возмущающего воздействия f(t).

САУ является инвариантной к задающему воздействию g(t), если после завершения переходного процесса ошибка управления e(t)=g(t)y(t) не зависит от задающего воздействия g(t). При этом выходная величина y(t) должна быть ковариантна с задающим воздействием g(t), что означает их близость (совпадение) y(t)≈g(t), а значит, отсутствие или малое значение ошибки управления.

В инвариантных следящих САУ обычно реализуются условия ковариантности, а в системах подавления возмущений и стабилизации выходной величины y(t) — условия инвариантности.

Изображение по Лапласу переменной выхода в линейной САУ, при наличии задающего и возмущающего воздействий и нулевых начальных условиях, определяется из уравнения [1, 2]:

Инвариантность САУ (1.6.40)

Основным в теории инвариантности является случай, когда о входных воздействиях нет никакой информации. Поэтому для инвариантности САУ необходимо в (1.6.40) обеспечить равенство нулю Инвариантность САУ, а для обеспечения ковариантности — равенство единице Инвариантность САУ

Рассмотрим условия инвариантности САУ для ошибки управления e(t) при одном входном воздействии g(t) или f(t). Предположим, что операторная функция передачи по ошибке Фe(p) (1.4.2) описывается в общем случае операторным уравнением:

Инвариантность САУ(1.6.41)

а изображение по Лапласу ошибки управления при нулевых начальных условиях — в виде:

Инвариантность САУ (1.6.42)

где Инвариантность САУ— передаточная функция САУ по ошибке; Инвариантность САУ— изображение по Лапласу входного воздействия, которое может быть любой функцией времени.

Решение неоднородного уравнения (1.6.41) запишется в виде:

Инвариантность САУ (1.6.43)

где pk — корни уравнения A(p)=0; pi — корни уравнения Q(p)=0.

Установившееся значение вынужденной составляющей ошибки eвын(t) по (1.6.43) будет тождественно равно нулю в следующих случаях [2].

1) Если R(p)=0, то евын≡0. Тривиально. Отсутствует задающее воздействие.

См. также:  Датчики температуры с использованием термо-ЭДС

2) Если В(р)=0, то евын≡0, что соответствует абсолютной инвариантности САУ по отношению к входному воздействию, которое может быть любой функцией времени. Под абсолютной инвариантностью понимается полная независимость вынужденных движений от входных воздействий. При этом условии в САУ не будет ни переходной, ни установившейся составляющих ошибки при любых ограниченных входных воздействиях. Но могут быть свободные движения при ненулевых начальных условиях. В следящих САУ условие В(р)=0 означает равенство нулю передаточной функции по ошибке, следовательно, Ф(p)=1 и частотная характеристика Ф(jω)=1 при 0≤ω≤ должна иметь бесконечную полосу пропускания частот, что реализовать принципиально невозможно.

3) Равенство нулю евын(t)=0 будет наблюдаться по (1.6.42) для таких входных функций R(p)/Q(p), изображения которых имеют все полюсы [корни уравнения Q(p)] совпадающими с нулями передаточной функции B(p)/A(p) [корнями уравнения В(р)]. Данный случай соответствует так называемой частичной, или селективной, инвариантности САУ к входным воздействиям определенного вида (в виде степенных функций, в виде суммы экспонент с заданными постоянными времени и т. п.).

Условия абсолютной инвариантности при равенстве нулю установившейся ошибки управления евын(t)=0 и равенстве нулю передаточной функции Wf(p)=0 в (1.6.40) удается реализовать довольно редко. Обычно добиваются условий инвариантности до εограниченной величиной модуля ОФП |Wf (p)|<ε или ограниченной величиной вынужденной составляющей ошибки управления евын(t)<ε.

Селективная инвариантность в САУ наиболее часто обеспечивается относительно постоянного воздействия, вынужденная составляющая ошибки управления определяется по теореме о конечном значении оригинала по формуле (1.6.24). При наличии ошибки достигается селективная инвариантность до ε, при отсутствии ошибки достигается селективная абсолютная инвариантность и САУ называют астатической по входному воздействию и её производным.

Всё вышеизложенное об инвариантности САУ справедливо для асимптотически устойчивых систем, в которых свободные и вынужденные переходные составляющие затухают и после завершения переходного процесса остается только установившаяся вынужденная составляющая процесса.

Для расчета инвариантных САУ используются следующие методы: комбинированного управления, последовательной или параллельной компенсации воздействий, обратной связи [1, 2, 6].

Комбинированное управление заключается в одновременном использовании замкнутого управления по отклонению выходной величины y(t) от входного воздействия и разомкнутого управления по этому входному воздействию (рис. 1.6.7) [1, 2, 6].

См. также:  Исследование устойчивости методом В.М. Попова

Инвариантность САУ

Рис. 1.6.7 — Комбинированная САУ

Эквивалентная передаточная функция САУ по (рис.1.6.7) будет:

Инвариантность САУ (1.6.44)

Передаточная функция по ошибке получится в виде:

Инвариантность САУ (1.6.45)

Условие абсолютной инвариантности по ошибке eвын(t)=0 от воздействия g(t) выполняется для комбинированной САУ (рис. 1.6.7) при Фе(р)=0, что по (1.6.45) требует обеспечить равенство φ(р)=1/W(p). Разложив правую часть равенства в ряд по возрастающим степеням р, получим изображение по Лапласу необходимой функции [1, 2]

Инвариантность САУ (1.6.46)

Для обеспечения абсолютной инвариантности САУ в канал разомкнутого управления необходимо вводить входное воздействие, его первую и высшие производные, что практически не реализуемо из-за возрастания помех при многократном дифференцировании входного сигнала. Поэтому все работоспособные САУ обладают инвариантностью до ε или селективной инвариантностью [1, 2].

Последовательная компенсация заключается в установке между источником воздействия и ОУ компенсатора с необходимой передаточной функцией (р) по отношению к WОУ(р) [1, 2]. Для абсолютной инвариантности к возмущению f(t) нужно получить (р)WОУ(р)=0, что практически недостижимо. Изменениями конструкции ОУ можно частично ослабить возмущающие воздействия. Так, для уменьшения сил трения можно улучшить смазку или применить подшипники на воздушной или магнитной подвеске, для уменьшения сил веса можно применить принцип рычага и так далее. Для обеспечения ковариантности y(t)≈g(t) нужно иметь (р)WОУ(р)=1, что реализуется только приближенно. Поскольку для (р)WОУ(р)=1 САУ должна быть устойчивой, иметь бесконечную полосу равномерного пропускания частот и регулятор с передаточной функцией, где степень числителя выше степени знаменателя для компенсации инерционности ОУ [1, 2].

Параллельная компенсация является наиболее эффективным средством обеспечения инвариантности САУ к основному возмущению f(t) на ОУ, если это измеряемое возмущение [1, 2]. Параллельная компенсация основана на принципе дуальности (двухканальности), предложенном Б.Н. Петровым. По этому принципу возмущение f(t) воздействует на выходную величину y(t) по естественному каналу через ОУ и по искусственному компенсирующему каналу через регулятор САУ (рис. 1.6.8). При идентичности передаточных функций обоих каналов осуществляется полная компенсация возмущения, что соответствует абсолютной инвариантности САУ к возмущению f(t).

См. также:  Датчики тока с трансформаторами

Инвариантность САУ

Рис. 1.6.8 — Инвариантная САУ с параллельной компенсацией

2.1.241 САУ (рис. 1.6.8) можно описать операторным уравнением:

Инвариантность САУ (1.6.47)

где WOF(p), W01(p), W02(p) — операторы элементов объекта управления (ОУ); WKF(p), WР (р) — операторы элементов регулятора; WF(p), WG(p) — операторы, преобразующие возмущение f(t) и задающее воздействие g(t) в выходную управляемую величину y(t).

Для инвариантности САУ к возмущению f(t) нужно в (1.6.47) обеспечить равенство нулю оператора WF(p), т.е. обеспечить равенство нулю числителя передаточной функции по возмущению

Инвариантность САУ (1.6.48)

Тождество (1.6.48) представляет собой условие абсолютной инвариантности САУ и является первой формой инвариантности по своей значимости, поскольку при этом не накладывается никаких ограничений на возмущающее воздействие f(t) [1, 2].

В выражении (1.6.48) оператор W02(p)≠ 0 определяется процессами в ОУ и не может быть равен нулю. Следовательно, для реализации абсолютной инвариантности САУ в первой форме необходимо обеспечить равенство нулю передаточной функции между точками а и d на структурной схеме (рис. 1.6.8) Wad(p)=WOF (p) – WKF(p)W01(p)=0. Для этого по принципу дуальности нужно обеспечить симметрию каналов за счет выбора ОФП устройства WKF(p) регулятора в компенсирующем канале по условию WKF(p)=WOF(p)/W01(p).

При компенсации возмущения f(t) выходная величина y(t) в САУ не зависит от f(t) и получить информацию о возмущающем воздействии f(t) путем измерения выходной величины y(t) нельзя. Поэтому для реализации инвариантности в первой форме в САУ необходимо иметь возможность измерения возмущения f(t).

Пример 1.6.8. Обеспечить частичную (селективную) инвариантность следящей системы по задающему воздействию и скорости его изменения (т.е. отсутствие ошибок по положению и по скорости) с использованием комбинированного управления, если САУ имеет следующую структуру [1, 2]:

Инвариантность САУ

Рис. 1.6.9 — Следящая система

Эквивалентная передаточная функция замкнутой САУ по ошибке получится в виде:

Инвариантность САУ

Ошибки по положению нет (свободный член в числителе Инвариантность САУотсутствует), поскольку САУ имеет один интегратор в разомкнутой цепи и поэтому обладает астатизмом первого порядка. Ошибки по скорости не будет при TK=1, т.е. при выборе отношения коэффициентов K1/K2=T=1/K, что придает САУ астатизм второго порядка.