Классический метод расчета переходного процесса

При задающем воздействии g(t)=1(t) дифференциальное уравнение (1.6.49) примет вид:

Классический метод расчета переходного процесса

Классический метод расчета переходного процесса (1.6.53)

Переходный процесс опишется полным решением уравнения (1.6.53) в виде суммы частного решения (вынужденного движения) yВ(t) при t→∞ и общего решения (свободного движения) yC(t) однородного уравнения (1.6.53) при равенстве нулю его правой части [1, 2]

Классический метод расчета переходного процесса (1.6.54)

где pi — корни характеристического уравнения (1.6.50), Сi — постоянные интегрирования, n — порядок характеристического уравнения. Постоянные интегрирования Сi в (1.6.54) определяются из n алгебраических уравнений, полученных дифференцированием уравнения (1.6.53) по времени n–1 раз с учётом начальных значений выходной величины и её первой, второй и других производных по времени из (1.6.53) при t=0: y(0)=y0, y1(0)=yКлассический метод расчета переходного процесса, y2(0)=yКлассический метод расчета переходного процесса,…, y(n–1)(0)=yКлассический метод расчета переходного процесса[1, 2].

При расчетах переходного процесса необходимо различать «начальные условия слева» y–0 (до приложения ступенчатого воздействия) при t=–0 и «начальные условия справа» y+0 (сразу после приложения ступенчатого воздействия) при t=+0. Начальные условия слева при t=–0 всегда принимаются нулевыми y–0=0, yКлассический метод расчета переходного процесса=0, yКлассический метод расчета переходного процесса=0 и т.д. Начальные условия справа при t=+0 определяются из дифференциального уравнения (1.6.53) и для выходной величины y(t) и её первых (n–m–1) производных начальные условия слева и справа одинаковые [1, 2]:

Классический метод расчета переходного процесса (1.6.55)

Для остальных начальных условий выполняются соотношения [1, 2], которые показывают, что только при m=0 в уравнении (1.6.53) начальные условия одинаковые при t=+0 и t=–0:

Классический метод расчета переходного процесса(1.6.56)

Для расчета переходного процесса от возмущающего воздействия f(t)=1(t) в (1.6.53) вместо В(р) из (1.6.51) берется С(р) из (1.6.52).

Пример 1.6.9. Найти переходную функцию САУ при единичном задающем ступенчатом воздействии g(t)=1(t) и нулевых начальных условиях, если дифференциальное уравнение переходного процесса имеет вид Классический метод расчета переходного процессагде коэффициенты а0=0,05 с2; а1=0,4 с; а2=1; b0=0,5 с; b1=1.

Из дифференциального уравнения при t→∞ установившееся значение будет равно:

См. также:  Точность САУ

Классический метод расчета переходного процесса (1.6.57)

Характеристическое уравнение 0,05 р2+0,4 р+1=0 имеет два комплексно сопряженных корня р1,2=–α±jβ=–4±j2. Общее решение дифференциального уравнения при равенстве нулю его правой части (описывающее свободное движение) имеет вид:

Классический метод расчета переходного процесса (1.6.58)

Начальные условия слева при t=–0 нулевые: y–0=0, yКлассический метод расчета переходного процесса=0.

Начальные условия справа при t=+0 при степенях дифференциального уравнения n=2 и m=1 определяются из (1.6.55) в виде y+0=y–0=0 и из (1.6.56) при n–m=2–1 (первое условие) в виде:

Классический метод расчета переходного процесса (1.6.59)

Полное решение дифференциального уравнения запишется в виде:

Классический метод расчета переходного процесса (1.6.60)

С учетом начальных условий справа, т.е. сразу после приложения ступенчатого воздействия, из полного решения дифференциального уравнения при t=+0 получим:

Классический метод расчета переходного процесса; (1.6.61)

Классический метод расчета переходного процесса (1.6.62)

Подставив из (1.6.61) С2=–1 – С1 в (1.6.62), получим

Классический метод расчета переходного процесса(1.6.63)

Классический метод расчета переходного процесса (1.6.64)

Из полного решения дифференциального уравнения, с учётом постоянных интегрирования и корней, получим выражение переходной функции

Классический метод расчета переходного процесса(1.6.65)

Полученная переходная функция описывает процесс увеличения выходной величины от нуля до единицы. Время переходного процесса tПП определяется временем затухания экспоненты e–4t от 1 при t=0 до значения 0,05 = e–4tпп, соответствующего окончанию переходного процесса tПП=0,75 сек.

Контрольные вопросы

1. Как представляется переходная функция при единичном ступенчатом воздействии?

2. Как определяется вынужденная составляющая переходной функции?

3. Как определяется собственная составляющая переходной функции?