Интегральные оценки качества переходного процесса

Интегральные оценки позволяют одним числом (значением интеграла) оценить качество переходного процесса по площади ошибки управления x(t), что сразу учитывает величину ошибки и время затухания переходного процесса при отработке единичного ступенчатого воздействия (рис. 1.6.12) [1, 2]. При этом отклонение выходной величины (динамическая ошибка) x(t)=xВЫХ(t) – –xУСТ отсчитывается от установившегося значения xУСТ без учёта статической ошибки регулирования, принимаемой равной нулю (при учёте статической ошибки интегральная оценка возрастала бы во времени до бесконечности). Это допущение не вносит заметных погрешностей в интегральные оценки, поскольку динамическая ошибка за время переходного процесса изменяется от 100% до статической ошибки, составляющей в статических САУ единицы процентов и отсутствующей в астатических САУ.

Интегральные оценки качества переходного процесса

Рис. 1.6.12 — Монотонный и колебательный процессы отработки

отклонения регулируемой величины от заданного значения

Для монотонных переходных процессов (рис. 1.6.12, а) используется простая интегральная оценка Интегральные оценки качества переходного процесса, которая определяется из изображения переходного процесса по Лапласу Интегральные оценки качества переходного процессана основе зависимости

Интегральные оценки качества переходного процесса[1, 2].

Простая интегральная оценка I1 не пригодна для колебательных переходных процессов (рис. 1.6.12, б), поскольку положительные и отрицательные площади ошибки вычитаются, что искажает оценку качества процесса управления. Поэтому для оценки качества колебательных и любых других переходных процессов используют квадратичную интегральную оценку

Интегральные оценки качества переходного процесса[1, 2].

Для вычисления квадратичной интегральной оценки можно использовать теорему Парсеваля, позволяющую заменить интегрирование произведения двух функций во времени интегрированием в частотной области произведения их изображений по Лапласу [1, 2]:

Интегральные оценки качества переходного процесса (1.6.76)

где

Интегральные оценки качества переходного процесса(1.6.77)

X(p) — изображение переходного процесса; Ф(р) — передаточная функция замкнутой САУ по единичному ступенчатому задающему воздействию x0 ·1(t).

Если изображение X(p) представляется дробно-рациональ-ной функцией вида (1.6.77), то квадратичная интегральная оценка вычисляется с использованием таблицы интегралов

Интегральные оценки качества переходного процесса (1.6.78)

См. также:  Типовые звенья САУ и их характеристики

В САУ, имеющих многочлен D(p) n-порядка, квадратичные интегральные оценки для первых трёх степеней имеют следующие значения [2]:

при n=1: Интегральные оценки качества переходного процессапри n=2: Интегральные оценки качества переходного процесса

при n=3: Интегральные оценки качества переходного процесса(1.6.79)

Метод интегральных оценок обычно используется для сравнения качества переходных процессов в разных замкнутых САУ и оптимизации параметров САУ по критерию минимизации квадратичной интегральной оценки.

Пример 1.6.11. Определить оптимальное значение коэффициента передачи К0 в замкнутой САУ с единичной обратной связью при отработке единичного ступенчатого воздействия x0(t)=1(t), если разомкнутая цепь САУ имеет ОФП

Интегральные оценки качества переходного процесса (1.6.80)

Изображение по Лапласу динамической ошибки по (1.6.77) будет:

Интегральные оценки качества переходного процесса(1.6.81)

Квадратичная интегральная оценка при n=3 по (1.6.79) будет:

Интегральные оценки качества переходного процесса(1.6.82)

Оптимальное значение К0 определится из равенства нулю частной производной по коэффициенту передачи ∂I23/∂K0=0 из дроби I23 в виде:

Интегральные оценки качества переходного процесса(1.6.83)

Из равенства нулю числителя в (1.6.83) оптимальное значение К0 будет:

Интегральные оценки качества переходного процесса (1.6.84)

Например, при Т1=0,1 с и Т2=0,01 с оптимальное значение К0=52,3 с–1 при минимальной величине квадратичной интегральной оценки ошибки I23=0,12.

Контрольные вопросы

1. Что отражают и как записываются простая и квадратичная интегральные оценки качества переходных процессов?

2. Почему при расчетах интегральных оценок качества переходных процессов не учитывается статическая ошибка регулирования?

3. Как вычислить простые и квадратичные интегральные оценки качества переходного процесса без расчета кривой переходного процесса?

4. Как можно использовать интегральные оценки переходного процесса для выбора оптимальных параметров САУ?