Чувствительность систем управления

В системах автоматического управления (САУ) реальные значения параметров (коэффициентов передачи, постоянных времени, сопротивлений, индуктивностей и др.) практически всегда отличаются от расчётных (номинальных) значений. Это обусловлено технологическим разбросом параметров элементов САУ до ±(10¸20)% при их промышленном изготовлении, а также эксплуатационными уходами параметров элементов от первоначальных значений вследствие изменений нагрузки, нагрева, старения и влияния других воздействий. Например, температурный коэффициент сопротивления обмоток из медного провода равен 0,04 на градус и при нагреве на 800 их сопротивление увеличивается на 32%, что настолько же изменяет электромагнитную и электромеханическую постоянные времени двигателей и характеристики процессов управления.

Степень влияния вариаций (малых изменений) параметров на статические и динамические характеристики процессов управления называется чувствительностью САУ. Нечувствительность САУ к вариациям определённого параметра называется грубостью САУ по данному параметру. Чем меньше чувствительность САУ к вариациям параметров, тем выше стабильность статических и динамических характеристик САУ. Таким образом, чувствительность оценивает качество САУ относительно стабильности статических и динамических характеристик САУ.

Количественные оценки чувствительности САУ определяются функциями чувствительности различных характеристик САУ к вариациям параметров.

Функции чувствительности временных характеристик САУ представляют собой частные производные i-ой координаты xi системы по вариации j-го параметра αj Чувствительность систем управленияили частные производные от используемого критерия качества (например, интегральной оценки I) по j-му параметру aj Чувствительность систем управления, где нулевой индекс сверху обозначает, что частные производные должны браться при расчётных (не варьированных), исходных, номинальных значениях параметров.

Если показатель качества характеристик САУ выражается не функцией времени, а числом (временем переходного процесса, величиной перерегулирования, квадратичной интегральной оценкой и др.), то Чувствительность систем управленияназывается коэффициентом чувствительности.

Исходной системой называют САУ, у которой все параметры равны расчётным (номинальным) значениям и не имеют вариаций. В такой САУ происходит так называемое основное или исходное движение координат xi(t,0).

См. также:  Дискретные преобразования

Варьированной системой называют САУ, в которой произошли вариации (малые изменения) определённых параметров. В такой САУ происходит варьированное движение координат xi(t,α).

Разность движения в варьированной (изменённой) САУ и движения в исходной САУ образует дополнительное движение, которое называется параметрической погрешностью или параметрической ошибкой системы Δxi (t,α)=xi (t,α) – xi (t,0).

Пусть исходная САУ описывается совокупностью нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка [1, 2]

Чувствительность систем управления (1.6.85)

где Чувствительность систем управления— координаты системы n-го порядка; Чувствительность систем управления— не варьированные (расчётные) значения параметров Чувствительность систем управления

При мгновенных вариациях параметров Daj (j=1, 2, …, m), если они не вызывают изменения порядка уравнений (1.6.85), то варьированное движение будет описываться совокупностью уравнений

Чувствительность систем управления(1.6.86)

Дополнительное движение координат или параметрическая ошибка САУ определится из разности значений варьированных и исходных (не варьированных) координат:

Чувствительность систем управления Чувствительность систем управления(1.6.87)

Вследствие малости изменений (вариаций) параметров дополнительное движение (1.6.87) по каждой i-ой координате можно представить в первом приближении в виде разложения в ряд Тейлора с учётом только первых членов ряда:

Чувствительность систем управления (1.6.88)

где Чувствительность систем управления— функции чувствительности.

Функции чувствительности временных характеристик САУ можно найти из решений уравнений чувствительности, которые получаются при дифференцировании уравнений движения исходной системы (1.6.85) по варьируемому параметру:

Чувствительность систем управления (1.6.89)

2.1.252 Изменив в левой части уравнения (1.6.89) порядок дифференцирования с учетом uij=[¶xi/¶aj]°, получим уравнения чувствительности:

Чувствительность систем управления (1.6.90)

Решение уравнений чувствительности (1.6.90) даёт функции чувствительности Чувствительность систем управления, определяющие количественное влияние вариаций параметров на временные характеристики САУ (переходную функцию, функцию веса и др.). Однако уравнения (1.6.90) обычно оказываются сложными и решение их затруднительно. Поэтому для определения чувствительности применяются различные косвенные методы и структурные модели чувствительности САУ.

Например, дополнительное движение (параметрическую ошибку) в САУ при вариации одного из параметров на величину Чувствительность систем управленияи заданном входном воздействии g(t), G(p) можно определить с использованием структурного метода по передаточным функциям изменённой (варьированной) и исходной САУ. Разложим ОФП варьированной САУ в ряд Тейлора:

См. также:  Калориметрические расходомеры

Чувствительность систем управления,

(1.6.91)

где W(p,α) и W(p,0) — ОФП варьированной (изменённой) САУ и исходной САУ, в которой все параметры имеют расчётные (номинальные) значения. В первом приближении (с учётом только линейных членов ряда Тейлора) изменение ОФП САУ, вызванное изменением одного из параметров на малую величину α, можно представить разностью:

Чувствительность систем управления (1.6.92)

Тогда приближённое выражение дополнительного движения (параметрической ошибки) системы определяется на основе обратного преобразования Лапласа в виде:

Чувствительность систем управления(1.6.93)

а функция чувствительности по параметру α будет

Чувствительность систем управления (1.6.94)

2.1.253 Используя метод суперпозиции, по (1.6.94) можно определить функции чувствительности временных характеристик САУ по всем варьируемым (изменяемым) параметрам.

Определение функций и коэффициентов чувствительности САУ по показателям качества упрощается в связи с отсутствием необходимости использования для этого дифференциальных уравнений. Например, функции чувствительности амплитудных частотных характеристик А(ω) и фазовых частотных характеристик φ(ω) определяются простым дифференцированием их выражений по варьируемому параметру α:

Чувствительность систем управленияЧувствительность систем управленияЧувствительность систем управления(1.6.95)

Отклонения частотных характеристик от исходных значений определяются простым суммированием:

Чувствительность систем управленияЧувствительность систем управления(1.6.96)

Пример 1.6.12. При единичном входном воздействии определить параметрическую ошибку и функцию чувствительности временных характеристик в САУ относительно вариаций α постоянной времени (Т+α), если ОФП варьированной САУ эквивалентна апериодическому звену

Чувствительность систем управления (1.6.97)

Найдём частную производную ОФП варьированной САУ по изменению параметра α:

Чувствительность систем управления(1.6.98)

2.1.254 Дополнительное движение или параметрическая ошибка в САУ по (1.6.93) запишется в виде:

Чувствительность систем управления(1.6.99)

а функция чувствительности временных характеристик САУ по параметру α из (1.6.94) с учётом (1.6.99) запишется в виде:

Чувствительность систем управления (1.6.100)

Из (1.6.100) видно, что функция чувствительности является функцией времени и монотонно уменьшается с течением времени. При этом дополнительное движение (параметрическая ошибка) в рассматриваемой САУ также уменьшается и вариации постоянной времени не приводят к потере устойчивости САУ. Такую САУ называют грубой по параметру α.

См. также:  Локальные вычислительные сети в управлении

Пример 1.6.13. Функции чувствительности временных характеристик САУ можно также получить дифференцированием известной функции времени выходной регулируемой величины системы управления. Например, для САУ с ОФП, соответствующей ОФП апериодического звена второго порядка, выходная величина при ступенчатом входном воздействии g(t)=g0