Дискретно-разностные уравнения САУ

В дискретных САУ управляющие сигналы x*(t)=x[nT] представляются решетчатыми функциями времени, значения которых определены только для моментов времени t=nT (рис. 2.2.3).

Дискретно-разностные уравнения САУ

Рис. 2.2.3 — Решетчатая функция сигнала

Непрерывная функция x(t), совпадающая с вершинами дискрет решетчатой функции x[nT], называется огибающей решетчатой функции. Каждой решетчатой функции соответствует множество огибающих (ступенчатая, треугольная, гармоническая и др.), но используется в расчетах единственная основная огибающая функция, которая совпадает с вершинами дискрет и получается в результате решения дифференциального уравнения наименьшего порядка. Например, решетчатой функции x[nT]= =e–αnT соответствуют огибающая x1(t)=e–αt и огибающая x2(t)= =e–αt(cosωt+bsinωt). Основной огибающей будет первая огибающая, полученная из решения дифференциального уравнения первого порядка, тогда как вторая огибающая получается из решения уравнения второго порядка. Все расчёты решетчатых функций основаны на преобразованиях их основных огибающих.

Аналогом первой производной от основной огибающей решетчатой функции является либо первая прямая разность (прямая разность первого порядка) — разность будущего и текущего значений решетчатой функции x[nT] (рис. 2.2.3)

Dx[n] = x[n+1] x[n], (2.2.4)

либо первая обратная разность — разность текущего и прошлого значений решетчатой функции (используется в САУ с ЦВМ, имеющих память)

Ñx[n] = x[n] x[n –1]. (2.2.5)

Аналогом второй производной от основной огибающей решетчатой функции являются вторые разности (разности второго порядка): вторая прямая разность будущего и текущего значений первых прямых разностей:

D2x[n]=Dx[n+1] Dx[n]=x[n+2] 2x[n+1]+x[n] (2.2.6)

или вторая обратная разность текущего и прошлого значений первых обратных разностей:

Дискретно-разностные уравнения САУ2x[n]=Дискретно-разностные уравнения САУx[n] Дискретно-разностные уравнения САУx[n –1]=x[n] 2x[n –1]+x[n –2]. (2.2.7)

Третьи и последующие производные определяются аналогично.

Аналогом интеграла от основной огибающей функции в пределах от 0 до t для решетчатой функции x[n] являются неполная сумма её дискрет (без учета последней дискреты функции)

См. также:  Передаточные функции замкнутых САУ

Дискретно-разностные уравнения САУ (2.2.8)

и полная сумма (с учетом последней дискреты решетчатой функции)

Дискретно-разностные уравнения САУ (2.2.9)

Аналогами дифференциальных уравнений непрерывных огибающих функций для дискретных систем, описанных решетчатыми функциями, являются дискретно-разностные уравнения (уравнения в конечных разностях). При использовании обратных разностей неоднородные линейные дискретно-разностные уравнения имеют вид:

Дискретно-разностные уравнения САУ(2.2.10)

или с учетом замены приращений значениями дискрет

Дискретно-разностные уравнения САУ (2.2.11)

Коэффициенты уравнения (2.2.11) определяются по формулам [1]:

Дискретно-разностные уравнения САУ (2.2.12)

Дискретно-разностные уравнения САУ, (2.2.13)

где k=0,1,2,,m — порядковый номер коэффициента в уравнении (2.2.11); ν=0,1,2,,m — порядковый номер коэффициента в уравнении (2.2.10); bν — значения коэффициентов в уравнении (2.2.10).

Дискретно-разностные уравнения можно получить и при использовании прямых разностей.

Дискретно-разностные уравнения можно рассматривать как рекуррентные соотношения, позволяющие вычислять значения дискрет y[n] при n=1,2,3,… для заданных начальных значений y[nm], y[nm+1],…, y[n –1] с использованием уравнения (2.2.11).

Общее решение однородного дискретно-разностного уравнения (2.2.11) при нулевой правой части выражает свободное (собственное) движение в дискретной САУ. При некратных корнях характеристического уравнения, получаемого из (2.2.11) в виде:

Дискретно-разностные уравнения САУ (2.2.14)

свободное движение в дискретной САУ представляется уравнением:

Дискретно-разностные уравнения САУ (2.2.15)

где С1, С2,, Сm — постоянные коэффициенты, определяемые из начальных условий; λ1, λ2,, λm — корни уравнения (2.2.14).

Из (2.2.15) вытекает условие устойчивости дискретной системы, определяющее затухание свободных движений в САУ, которое обеспечивается при модуле всех корней характеристического уравнения (2.2.14), меньших единицы | λ i |<1, i = 0, 1, 2,, m.

Вместо дискретно-разностных уравнений в расчётах импульсных САУ обычно используются дискретные преобразования Лапласа или Z-преобразования, позволяющие вести расчёты аналогично расчетам непрерывных САУ.

Контрольные вопросы

1. Что называется основной огибающей решетчатой функции и как вычисляются первые, вторые и последующие прямые и обратные разности огибающих решетчатых функций?

См. также:  МикроЭВМ ремиконта

2. Какой вид имеют дискретно-разностные уравнения САУ и как из них определить характеристическое уравнение, его корни, уравнение свободного движения и устойчивость САУ?