Передаточные функции САУ с ЭВМ

ЭВМ с АЦП на входе и ЦАП на выходе обычно используется в цифроаналоговых САУ (рис. 2.2.2) в качестве цифрового регулятора (рис. 2.1.3, б). В таких САУ АЦП преобразует с периодом дискретизации Т при частоте квантования ωД=1/T непрерывный сигнал ошибки x(t) в решетчатую функцию кодоимпульсной последовательности сигналов ошибки x*(t)=x[nT], ЭВМ соответственно заданному алгоритму обрабатывает последовательность импульсов сигнала ошибки x*(t) и вычисляет решетчатую функцию последовательности кодоимпульсных сигналов управления u*(t)=u[nT], которую ЦАП преобразует в непрерывный управляющий сигнал u(t) ступенчатой формы, воздействующий на непрерывную выходную часть САУ. При этом на входе ЭВМ имеется АЦП, содержащий импульсный элемент с частотой квантования Т, а на входе непрерывной части САУ имеется ЦАП, также содержащий импульсный элемент с частотой квантования Т. В этих случаях ЗФП последовательно соединенных звеньев равна их произведению [1, 2, 8].

Операторная функция передачи АЦП определяется процессом преобразования непрерывного сигнала ошибки x(t) в решетчатую функцию кодоимпульсных сигналов ошибки x*(t)=x[nT] с периодом квантования Т (рис. 2.1.1, в) и представляется в виде [1, 2, 8]:

Передаточные функции САУ с ЭВМ (2.2.38)

Z-преобразование от (2.2.38) по таблице 2.2.1 равно единице [1, 2, 8]:

Передаточные функции САУ с ЭВМ (2.2.39)

Важным для САУ с ЭВМ является выбор периода квантования Т (или частоты квантования Передаточные функции САУ с ЭВМ) при дискретизации непрерывного сигнала ошибки. Для дискретизации быстро изменяющихся сигналов ошибки x(t) частоту дискретизации следует выбирать наибольшей, а период дискретизации — наименьшим. Однако период квантования не может быть меньше, чем время преобразования в ЭВМ сигнала ошибки x*(t) в управляющий сигнал u*(t) по требуемому алгоритму управления. Поступающий в ЭВМ сигнал обновляется в начале каждого периода квантования, и его обработка в ЭВМ должна завершаться в течение одного периода квантования, иначе будет накапливаться запаздывание и работоспособность САУ нарушится.

См. также:  Исследование устойчивости методом В.М. Попова

Выбор частоты дискретизации ωД=2π/Т по условиям отсутствия потери информации при преобразовании в АЦП непрерывного входного сигнала x(t) в кодоимпульсный выходной сигнал x*(t) основан на следующих положениях [2, 8]. Из теории непрерывных САУ известно, что если сигнал x(t) имеет преобразование Лапласа X(р), то при замене в нём р=jω из X(р) получается преобразование Фурье X(jω), описывающее спектр частот сигнала x(t) в виде Передаточные функции САУ с ЭВМ, где Передаточные функции САУ с ЭВМи Передаточные функции САУ с ЭВМ— амплитудный и фазовый частотные спектры.

В импульсных системах преобразование Фурье X*(jω) дискретного сигнала x*(t) представляется суммой смещенных спектров частот непрерывного квантуемого сигнала x(t) и частот, кратных частоте квантования kωД (k=0; ±1; ±2;…) [2, 8]:

Передаточные функции САУ с ЭВМ (2.2.40)

где X(jω) — спектр частот непрерывного входного квантуемого сигнала x(t) с диапазоном частот от –ωХ до+ωХ (рис. 2.2.6, а).

При квантовании непрерывного сигнала амплитуды всех гармоник уменьшаются в Т раз, что позволяет считать АЦП в частотной области безынерционным звеном с коэффициентом передачи 1/Т.

Спектр частот непрерывного входного сигнала АЦП X(jω) (рис. 2.2.6, а) существенно отличается от спектра частот выходного дискретного сигнала X*(jω) (рис. 2.2.6, б), содержащего как основную составляющую частот входного сигнала X(jω) при k=0, так и дополнительные составляющие с частотами, кратными частоте квантования kωД (при k=±1, ±2,), возникающие в процессе квантования входного сигнала. Дополнительные частотные составляющие от квантования сигнала x(t) не искажают форму спектра частот основной составляющей, если ширина спектра частот входного квантуемого сигнала –ωХ ω≤ ωX меньше ширины спектра частот основной составляющей в диапазоне частот –0,5ωД≤ω ≤0,5ωД (рис. 2.2.6, б) [2, 8].

Если частота квантования ωД мала и спектр частот входного непрерывного квантуемого сигнала выходит за границы основного диапазона шириной ωД, то в основном диапазоне частот спектр входного сигнала X(jω) искажается прилегающими субгармоническими составляющими (рис. 2.2.6, в) и в дискретном выходном сигнале x*(t)=x[nT] возникают ошибки в линейности преобразования входного сигнала x(t). Для исключения ошибок преобразования непрерывных сигналов в дискретные в АЦП и дискретных в непрерывные в ЦАП частота дискретизации должна быть в два раза выше полосы частот квантуемого непрерывного сигнала [2, 8, 19].

См. также:  Обработка информации с датчиков

Передаточные функции САУ с ЭВМ

Рис. 2.2.6 — Амплитудные спектры сигналов при квантовании

При выборе минимально допустимой частоты квантования ωД за частоту ωХ можно принимать полосу пропускания частот непрерывной выходной части САУ (рис. 2.2.6, г), определяемой по уменьшению выходной величины на 3 дБ или увеличению её фазового запаздывания до –90° при подаче на вход САУ синусоидального сигнала с постоянной амплитудой и возрастающей частотой от 0 до ωХ. Поскольку спектр сигналов на краях диапазона уменьшается постепенно, то на практике значение ωХ обычно определяют по уменьшению амплитудного спектра на (5—10)% от максимального значения, а частоту дискретизации выбирают с большим запасом ωД = (5—10)ωХ.

Передаточная функция ЭВМ описывает процесс преобразования кодоимпульсного входного сигнала ошибки x*(t)=x[nT] в кодоимпульсный выходной сигнал управления u*(t)=u[nT] по заданному алгоритму (рис. 2.2.2). Если алгоритм обработки включает только линейные операции (дифференцирование, интегрирование, суммирование и др.), то ЭВМ работает как линейный цифровой фильтр, точно описываемый зет-функцией передачи D(z) [2, 8, 19, 22]. Поскольку ЭВМ имеет запоминающее устройство, то в алгоритме могут учитываться текущие значения входного сигнала x[], m прошлых его значений x[(n –μ)T] и q прошлых значений выходного сигнала u[(nv)T] [2, 8, 19]

Передаточные функции САУ с ЭВМ(2.2.41)

где Передаточные функции САУ с ЭВМ— постоянные коэффициенты, определяемые заданным алгоритмом работы ЭВМ. Выполнив над алгоритмом (2.2.41) обычное преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях с учетом теоремы запаздывания, получим операторное уравнение [8, 19]:

Передаточные функции САУ с ЭВМ (2.2.42)

Из (2.2.42) операторная функция передачи ЭВМ как некоторого произвольного цифрового фильтра запишется в виде [8, 19]:

Передаточные функции САУ с ЭВМ (2.2.43)

Из (2.2.43) после замены Передаточные функции САУ с ЭВМполучается зет-функция передачи (ЗФП) ЭВМ в виде [8]:

Передаточные функции САУ с ЭВМ (2.2.44)

ЭВМ в линейных САУ часто используются в качестве цифрового регулятора, выполняющего функции пропорционального, интегрального, пропорционально-интегрального, пропорционально-дифференциального или пропорционально-интегрально-дифференциального линейного регулятора, реализующего операции масштабирования, суммирования, интегрирования и дифференцирования сигналов аналогично ОФП W(p) регуляторов на операционных усилителях в непрерывных САУ.

См. также:  Датчики тока с трансформаторами

Рассмотрим получение ЗФП D(z) ЭВМ на примере реализации типового ПИД-регулятора с ОФП, которую можно представить в виде [22]:

Передаточные функции САУ с ЭВМ(2.2.45)

где Передаточные функции САУ с ЭВМ

Из (2.2.45) следует, что ЭВМ должна выполнять следующие операции:

Передаточные функции САУ с ЭВМ (2.2.46)

Операции масштабирования входного сигнала учитываются простым умножением (z)=КПX(z).

Численное интегрирование в ЭВМ можно осуществить многими методами, из которых простейшим является метод Эйлера, или правило прямоугольников [2, 8, 22]. Интеграл от x(t) аппроксимируется площадью прямоугольников (рис. 2.2.7, а). При t=(n+1)T значение интеграла равно его значению [nT] при t=nT плюс площадь прямоугольника T