Устойчивость дискретных САУ

Устойчивость замкнутых дискретных САУ определяется по виду корней характеристического уравнения М(z)=1+W(z)=0, являющегося полиномом знаменателя в ЗФП замкнутой САУ [1, 2, 8, 19]

Устойчивость дискретных САУ (2.3.1)

Дискретная САУ устойчива, если все корни располагаются внутри окружности единичного радиуса на комплексной z-плос-кости (рис. 2.3.1, а) [1, 2, 8]. Для характеристического полинома M(z)=z+А= условием устойчивости САУ будет çА÷<1. Для характеристического полинома второго порядка M(z)=z2+Az+ +B= получаются три условия устойчивости [2]: 1+А+В>0; 1 –A+B>0; B<1.

Устойчивость дискретных САУ

a б в

Рис. 2.3.1 — Границы устойчивости дискретной САУ

Для полиномов M(z)=0 более высоких порядков поиск корней затруднен. Решение этой задачи облегчает использование преобразования Мебиуса, называемого w-преобразованием [2, 8, 19]:

Устойчивость дискретных САУ (2.3.2)

Устойчивость дискретных САУ (2.3.3)

При введении w-преобразования (2.3.3) в полином M(z)=0 получаем полином M(w)=0 и граница устойчивости дискретной САУ на плоскости корней zi в виде единичной окружности (рис. 2.3.1, а) преобразуется в мнимую ось на комплексной плоскости корней wi (рис. 2.3.1, в), где левая полуплоскость будет областью устойчивости (рис. 2.3.1, б). Это позволяет исследовать устойчивость дискретных САУ с характеристическим полиномом M(w)=0 по критериям устойчивости линейных САУ.

Граница устойчивости на плоскости z-корней (рис. 2.3.1, а) — это единичная окружность:

Устойчивость дискретных САУ (2.3.4)

где Т — период квантования; w — угловая частота входного сигнала.

При подстановке (2.3.4) в (2.3.2) граница устойчивости в виде единичной окружности на плоскости корней zi преобразуется в границу устойчивости в виде мнимой оси на плоскости корней wi

Устойчивость дискретных САУ (2.3.5)

где Устойчивость дискретных САУ— относительная псевдочастота; Устойчивость дискретных САУ— абсолютная псевдочастота.

При изменении ω от 0 до p/T аргумент z по (2.3.4) пробегает по верхней полуокружности границы устойчивости на плоскости корней zi от+1 до 1 (рис. 2.3.1, а), а аргумент w по (2.3.5) пробегает по мнимой оси — границе устойчивости САУ на плоскости корней wi от j0 до j¥ (рис. 2.3.1, в).

См. также:  Математические модели САУ