Дискретный аналог критерия Найквиста

Устойчивость замкнутой дискретной САУ с единичной обратной связью можно определить по ЗФП разомкнутой САУ с использованием дискретного аналога критерия Найквиста либо логарифмических псевдочастотных характеристик. Для устойчивости замкнутой САУ её АФХ в разомкнутом состоянии САУ не должна охватывать точку (1, j0) на комплексной плоскости, а запаздывание по фазе в логарифмической фазовой псевдочастотной характеристике не должно достигать –1800 при единичном коэффициенте передачи [1, 2]. При использовании ЗФП W(z) разомкнутой САУ её АФХ становится периодической функцией с периодом 2p/Т. Например, если разомкнутая САУ состоит из импульсного элемента, экстраполятора нулевого порядка и интегратора и имеет ЗФП:

Дискретный аналог критерия Найквиста

(2.3.13)

то АФХ, получаемая при подстановке Дискретный аналог критерия Найквистав (2.3.13), будет описываться выражением:

Дискретный аналог критерия Найквиста(2.3.14)

АФХ (2.3.14) разомкнутой дискретной САУ является трансцендентной функцией, неудобной для расчетов. Поэтому вводится понятие псевдочастотных характеристик, получаемых из передаточных функций W(z) при использовании w-преобразования и применения соотношения (2.3.3). В таком случае из (2.3.13) при подстановке (2.3.3) получим w-функцию передачи в виде:

Дискретный аналог критерия Найквиста (2.3.15)

После введения в (2.3.15) подстановки w=jλT/2 из (2.3.5) получим амплитудно-фазовую псевдочастотную характеристику (АФПЧХ) разомкнутой САУ с ЗФП W(z) из (2.3.13) в виде:

Дискретный аналог критерия Найквиста (2.3.16)

где Дискретный аналог критерия Найквиста— абсолютная псевдочастота из (2.3.5).

Амплитудная псевдочастотная характеристика (АПЧХ) запишется в виде:

Дискретный аналог критерия Найквиста (2.3.17)

Логарифмическая амплитудная псевдочастотная характеристика (ЛАПЧХ) будет:

Дискретный аналог критерия Найквиста 1(2.3.18)

ЛАПЧХ по (2.3.18) представляется двумя асимптотами: 1) с наклоном –20 дБ/дек Дискретный аналог критерия Найквистапри Дискретный аналог критерия Найквиста2) горизонтальной Дискретный аналог критерия Найквистапри Дискретный аналог критерия НайквистаЭти асимптоты сопрягаются при частоте Дискретный аналог критерия Найквиста. Частота среза определяется из равенства нулю выражения (2.3.18) или равенства единице АПЧХ по (2.3.17), откуда

Дискретный аналог критерия Найквиста (2.3.19)

Фазовая псевдочастотная характеристика (ФПЧХ) из (2.3.16) представляется в виде:

Дискретный аналог критерия Найквиста (2.3.20)

Фазовое запаздывание изменяется от –90° при λ до –180° при псевдочастоте λ, при частоте среза λС=2/T запаздывание по фазе составляет –135°.

См. также:  Дискретный аналог критерия Гурвица

Устойчивость замкнутых дискретных САУ определяется по логарифмическим псевдочастотным характеристикам так же, как и для непрерывных САУ. При псевдочастоте среза ЛАПЧХ угол фазового запаздывания Дискретный аналог критерия Найквистане должен достигать минус 180°, на частоте среза определяется запас устойчивости по фазе Дискретный аналог критерия Найквиста. Запас устойчивости по модулю Дискретный аналог критерия Найквистаопределяется на частоте, при которой фазовое запаздывание достигает минус 180° (рис. 2.3.2), аналогично тому, как это делается для непрерывных САУ.

Дискретный аналог критерия Найквиста

Рис. 2.3.2 — Логарифмические псевдочастотные характеристики

Контрольные вопросы

1. Как определить устойчивость замкнутой дискретной САУ по корням характеристического полинома ЗФП Ф(z)?

2. Как определить устойчивость замкнутой дискретной САУ с использованием дискретного аналога алгебраического критерия Гурвица?

3. Как по характеристическому уравнению замкнутой дискретной САУ определить устойчивость с использованием дискретного аналога частотного критерия Михайлова?

4. Как определить устойчивость замкнутой дискретной САУ по её АФХ W(jω) в разомкнутом состоянии по критерию Найквиста?

5. Как получить ЛАПЧХ и ЛФПЧХ разомкнутой дискретной САУ и определить по ним устойчивость замкнутой дискретной САУ?