Стационарные случайные процессы

Стационарные случайные процессы имеют независимые от времен статистические характеристики и очень важное свойство эргодичности — равенства средних по множеству и средних по времени значений статистических характеристик случайных величин [1, 2]

Стационарные случайные процессы (3.2.1)

В (3.2.1) среднее значение по множеству Стационарные случайные процессыопределяется по (3.1.15), а среднее значение по времени Стационарные случайные процессыопределяется за время наблюдения от –Т до+Т по одной из реализаций (рис. 3.2.1):

Стационарные случайные процессы (3.2.2)

Стационарные случайные процессы

Рис. 3.2.1 — Одна из реализаций стационарного случайного процесса

Среднее значение квадрата Стационарные случайные процессыпо множеству определяется по (3.1.16), а среднее значение квадрата по времени — по выражению

Стационарные случайные процессы (3.2.3)

Универсальной характеристикой стационарного случайного процесса (рис. 3.2.1) является корреляционная (автокорреляционная) функция, равная среднему по времени произведению двух значений величин x(t) и x(t+τ) на интервале наблюдения от –Т до+Т в любые два момента времени, отличающихся на небольшой интервал τ

Стационарные случайные процессы (3.2.4)

При τ=0 из выражения (3.2.4) получается

Стационарные случайные процессы (3.2.5)

т.е. при τ=0 корреляционная функция равна среднему значению квадрата случайного процесса по времени и по множеству.

Часто в САУ входное воздействие состоит из суммы полезного сигнала g(t) и сигнала помехи f(t). Корреляционную функцию K0(τ) для сигнала x0(t)=g(t)+f(t) можно по (3.2.4) найти по выражению:

Стационарные случайные процессы (3.2.6)

где Стационарные случайные процессы— взаимные корреляционные функции

Стационарные случайные процессы(3.2.7)

Если процессы не зависят друг от друга, то их взаимные корреляционные функции равны нулю.

По корреляционным функциям, с учетом эргодичности стационарных случайных процессов, определяются их основные статистические характеристики: среднее значение (момент первого порядка) Стационарные случайные процессысреднеквадратичное значение (момент второго порядка) Стационарные случайные процессыдисперсия Стационарные случайные процессысреднеквадратичное отклонение Стационарные случайные процессы

Корреляционные функции обладают универсальностью, но расчёты получаются сложными [1, 2]. Для расчётов проще использовать спектральную плотность случайного процесса, пропорциональную средней мощности случайного процесса в интервале частот от ω до ω+dω [1,2].

См. также:  Электрические исполнительные устройства

Энергия процесса определяется интегральной зависимостью от квадрата случайной величины во времени. САУ описываются дифференциальными уравнениями, и случайные процессы описываются на бесконечно малых интервалах времени, на которых величина энергии стремится к нулю. Поэтому при расчётах удобнее оперировать не с энергией, а со средней мощностью процесса во времени, получаемой делением энергии процесса на время наблюдения. Для этого используется энергетическая форма интеграла Фурье, преобразующего функцию x(t) в её изображение Фурье F(jω) [1, 2]:

Стационарные случайные процессы (3.2.8)

Стационарные случайные процессы (3.2.9)

Квадрат модуля изображения Фурье, проинтегрированный по всем частотам, дает выражение:

Стационарные случайные процессы(3.2.10)

где Стационарные случайные процессыпредставлен произведением F(jω) и F(–jω), а F(jω) заменено по (3.2.8) [1, 2].

Изменив порядок интегрирования в (3.2.10), получим [1, 2]:

Стационарные случайные процессы(3.2.11)

В (3.2.11) выражение в квадратных скобках по (3.2.9) есть исходная функция x(t), и тогда из (3.2.11) получается формула Релея, соответствующая энергетической форме интеграла Фурье [1, 2]:

Стационарные случайные процессы. (3.2.12)

Средняя мощность процесса x(t) за время от –Т до+Т получается из (3.2.12) за время 2Т в виде:

Стационарные случайные процессы (3.2.13)

Последнее равенство в (3.2.13) подставлено из (3.2.3).

Если в (3.2.13) обозначить

Стационарные случайные процессы (3.2.14)

то формулу (3.2.13) можно записать в виде:

Стационарные случайные процессы (3.2.15)

Величина S(ω) называется спектральной плотностью мощности или просто спектральной плотностью стационарного случайного процесса x(t), численно равной его дисперсии или среднему квадрату по времени и по множеству (вследствие эргодичности).

Спектральная плотность S(ω) стационарного случайного процесса однозначно связана с корреляционной функцией K(τ) процесса в виде прямого и обратного преобразования Фурье [1, 2, 8]:

Стационарные случайные процессы (3.2.16)

Стационарные случайные процессы (3.2.17)

При воздействиях на САУ двух взаимосвязанных стационарных процессов g(t) и f(t) с корреляционными функциями Стационарные случайные процессыих взаимные спектральные плотности определятся формулами:

Стационарные случайные процессы. (3.2.18)

Вычисление спектральной плотности по (3.2.14) затруднено необходимостью предельного перехода, проще использовать формулы (3.2.16) и (3.2.18) для определения S(ω) случайного процесса по его корреляционной функции K(τ).

См. также:  Синтез систем подчинённого регулирования

Для случайного стационарного процесса вид графика спектральной плотности S(ω) определяется выбором типового закона, аналогично выбору закона распределения плотности вероятности w(x) [2]. Так, для случайного процесса типа «белый шум» с ограниченной спектральной плотностью вид закона S(ω) аналогичен закону w(x) (рис. 3.1.6, а) при S(ω)=c, a=–ω0, b=+ω0; вид закона нормального распределения S(ω) аналогичен закону Гаусса (рис. 3.1.6, б) и т.д.

Зависимость S(ω) отражает характер изменений случайной величины x(t) во времени — чем шире спектр частот случайного сигнала, тем быстрее изменяется x(t) во времени и наоборот. Вид графика S(ω) случайного процесса x(t) также связан с видом графика корреляционной функции K(τ) — более «широкому» графику S(ω) соответствует более «узкий» график K(τ) и наоборот [2]. В [2, 8] и другой литературе приведены таблицы соответствия S(ω) значениям K(τ) для разных типовых случайных процессов, основанные на двустороннем преобразовании Фурье, а также методические указания по использованию этих таблиц при расчетах процессов в САУ.