Оценка влияния случайных воздействий на САУ

Оценка влияния на САУ случайных воздействий обычно заключается в определении установившихся значений выходной величины и ошибки регулирования, вызванных этими воздействиями, а также в оптимизации параметров и структуры САУ по критерию минимизации ошибки регулирования от случайных воздействий [1, 2, 8].

Если входное воздействие xвх(t) на линейную САУ является стационарным случайным процессом (рис. 3.1.1, а), то выходная величина xвых(t) и ошибка регулирования ε(t)=xвх(t) –xвых(t) также будут стационарными случайными процессами. При этом расчёты стационарных случайных процессов проводятся на основе использования их спектральных плотностей S(ω) и корреляционных функций K(τ).

Если входное воздействие xвх(t) является нестационарным случайным процессом (рис. 3.1.1, б), то используется приближённый метод расчета. Для этого кривую xвх(t) нестационарного процесса (рис. 3.3.1, а) приближённо заменяют участками, на которых скорость изменения Оценка влияния случайных воздействий на САУ(t)=dxвх(t)/dt=const (рис. 3.3.1, б). Полученный процесс Оценка влияния случайных воздействий на САУ(t) уже является стационарным случайным процессом относительно скорости изменения входного воздействия, и по нему можно рассчитать влияние на САУ рассматриваемого случайного воздействия.

Оценка влияния случайных воздействий на САУ

Рис. 3.3.1 — Замена нестационарного случайного процесса стационарным

Рассмотрим влияние стационарных случайных воздействий на замкнутую САУ с единичной обратной связью (рис. 3.3.2), имеющую частотную передаточную функцию разомкнутой цепи W(jω). Выходная величина y(t) и ошибка регулирования ε(t) в САУ определяются задающим g(t) и возмущающим f(t) воздействиями, корреляционные функции и спектральные плотности которых заданы.

Оценка влияния случайных воздействий на САУ

Рис. 3.3.2 — Структурная схема замкнутой САУ

Прохождение случайного сигнала через САУ. Рассмотрим три случая условий работы САУ.

1. При воздействии на САУ задающего случайного сигнала g(t) и отсутствии возмущающего воздействия f(t)=0 изображения Фурье процессов на входе Fg(jω) и выходе Fy(jω) САУ связаны через частотную передаточную функцию Ф(jω) замкнутой САУ [1]

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.1)

Из (3.2.14), после подстановки Fу(jω) по (3.3.1), получим:

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.2)

По найденной спектральной плотности Sy(ω) выходного случайного процесса по (3.2.15) определяется среднее значение его квадрата и дисперсия и, с учётом формулы (3.3.2), получается выражение

Оценка влияния случайных воздействий на САУ(3.3.3)

где частотная функция передачи замкнутой САУ представлена дробным выражением Оценка влияния случайных воздействий на САУ, а значение интеграла In вычисляется по таблице интегралов [2]. По дисперсии определяется среднее значение выходной величины Оценка влияния случайных воздействий на САУ. Из (3.2.17) определяется корреляционная функция выходного процесса Kу(τ) по спектральной плотности Sy(ω), полученной из (3.3.2).

Интеграл In в (3.3.3) можно представить в упрощенном виде [1, 2]:

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.4)

где Оценка влияния случайных воздействий на САУ(3.3.5)

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.6)

В (3.3.4) в числителе все члены с нечетной степенью ω дают при интегрировании нуль, поскольку знаменатель является четной функцией ω [1, 2]. Поэтому по (3.3.6) в числителе исключены члены с нечетной степенью ω. Все корни полинома A(jω) в устойчивой САУ расположены в верхней комплексной полуплоскости вследствие того, что использована подстановка p=jω, а множитель j означает поворот вектора комплексного числа на угол π/2 и левая комплексная полуплоскость становится верхней комплексной полуплоскостью.

Интеграл In при любом порядке n знаменателя A(jω) функции W(jω) устойчивой САУ может быть представлен в виде [1, 2]:

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.7)

где

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.8)

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.9)

Интегралы такого вида вычислены до n=7 и приведены в [2] и другой литературе.

См. также:  Назначение и классификация датчиков

2. При отсутствии задающего сигнала g(t)=0 и наличии воздействия помехи в виде стационарного случайного процесса f(t) со спектральной плотностью Sf(ω) все расчёты по п.1 повторяются с заменой частотной передаточной функции замкнутой САУ по задающему воздействию Оценка влияния случайных воздействий на САУна передаточную функцию замкнутой САУ по возмущающему воздействию Оценка влияния случайных воздействий на САУ

3. В общем случае, когда на линейную САУ воздействуют два стационарных случайных процесса g(t) и f(t), между которыми отсутствует взаимосвязь (взаимная корреляция равна нулю), спектральная плотность общего выходного случайного процесса по (3.3.2) будет

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.10)

где Ф(jω) и Фf (jω) — частотные передаточные функции замкнутой САУ по задающему g(t) и возмущающему f(t) воздействиям, а Sg(ω) и Sf(ω) — их спектральные плотности. По найденной из (3.3.10) спектральной плотности выходного процесса по (3.3.3) определяется его дисперсия, среднее квадратичное значение и среднее значение [1, 2].

Расчёт установившихся ошибок. Для САУ (рис. 3.3.2) обычно определяются только среднеквадратичные ошибки, вызванные стационарными случайными процессами задающего g(t) и возмущающего f(t) воздействий. Рассмотрим три возможных случая.

1. Если на САУ действует только задающее воздействие g(t), а возмущение отсутствует f(t)=0, то спектральная плотность ошибки по (3.3.2) будет:

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.11)

где частотная передаточная функция замкнутой САУ по ошибке:

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.12)

где Ф(jω) — передаточная функция САУ по задающему воздействию.

Интегрирование спектральной плотности ошибки (3.3.11) по всем частотам по формуле (3.3.3) позволяет вычислить среднеквадратичную ошибку от задающего случайного процесса [1, 2] в виде:

Оценка влияния случайных воздействий на САУ(3.3.13)

2. При действии на САУ (рис 3.3.2) только стационарного случайного процесса f(t) со спектральной плотностью Sf (ω) при отсутствии задающего сигнала g(t)=0 все расчёты по п. 1 повторяются при замене передаточной функции по ошибке от задающего воздействия (3.3.12) на передаточную функцию по ошибке от возмущающего воздействия Оценка влияния случайных воздействий на САУВ частном случае, когда помеха приложена на входе САУ, передаточная функция по ошибке будет такой же, как от действия задающего сигнала.

3. В случае, когда задающее воздействие g(t) и воздействие помехи f(t) представляют собой независимые друг от друга стационарные случайные процессы с спектральными плотностями Sg(ω) и Sf(ω), вычисление среднего значения квадрата ошибки производится по (3.3.3) отдельно для каждого воздействия, а затем ошибки суммируются.

Параметрическая оптимизация САУ по критерию минимума среднеквадратичной ошибки заключается в оптимизации величины какого-либо изменяемого параметра (коэффициента передачи, постоянной времени регулятора или корректирующего элемента) в САУ с известной структурой и известными параметрами с целью минимизации среднего значения квадрата ошибки по (3.2.3)

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.14)

Выбор критерия оптимизации в виде минимизации среднего квадрата ошибки обусловлен простотой её расчёта и универсальностью применения в различных режимах работы САУ.

Решение задачи нужно проводить в следующем порядке.

1) Определить, от действия каких стационарных случайных процессов с заданными статистическими характеристиками следует минимизировать квадратичную ошибку.

2) Определить по (3.3.13) зависимость суммарного среднего значения квадратичной ошибки Оценка влияния случайных воздействий на САУот случайных воздействий с учетом передаточной функции САУ.

3) Выбрать изменяемый параметр САУ (например, коэффициент передачи К), оптимизацией которого достигается минимизация среднего значения квадрата ошибки Оценка влияния случайных воздействий на САУ.

При математической сложности определения оптимизируемого параметра можно приближённо найти наилучшее значение К численным методом перебора, вычисляя значения Оценка влияния случайных воздействий на САУдо получения минимума ошибки. Изменять оптимизируемый параметр можно только в пределах сохранения устойчивости и требуемого качества управления в САУ.

См. также:  Понятие устойчивости нелинейных САУ

Оптимизация САУ по критерию минимума среднего квадрата ошибки является вариационной задачей и сводится к отысканию оптимальной частотной передаточной функции Фопт(jω), минимизирующей средний квадрат ошибки при воздействии на замкнутую САУ стационарных случайных процессов задающего сигнала g(t) и сигнала помехи f(t), образующих входной сигнал φ(t)=g(t)+f(t).

Решение этой задачи основано на преобразовании в САУ полезного задающего сигнала g(t) в его желаемое воспроизведение h(t) на выходе САУ по определённой заданной или выбранной формуле в виде преобразований Лапласа непрерывных функций времени [1, 2]

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.15)

где Н(р) — оператор, формирующий изображение по Лапласу желаемого воспроизведения h(t) из изображения по Лапласу задающего сигнала g(t). При Н(р)=1 получается простое воспроизведение с так называемым оптимальным сглаживанием (имеет место в следящих системах с ограниченной полосой пропускания частот), при Н(р)=р получается преобразование идеального дифференцирования, при Н(р)=1/р получается идеальное интегрирование и т.д. [1, 2].

Ошибка регулирования в САУ образуется из разности желаемого выходного процесса h(t) от задающего сигнала g(t) и реального выходного процесса y(t) от действия общего сигнала φ(t)=g(t)+f(t)

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.16)

Выходная величина САУ представляется формулой [1, 2, 8]:

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.17)

где w(t) — весовая функция замкнутой САУ.

Подставляя (3.3.17) в (3.3.16), а полученное значение ошибки ε(t) в (3.3.14), получим выражение среднего квадрата ошибки в виде [2]:

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.18)

Задача состоит в том, чтобы найти оптимальную частотную передаточную функцию замкнутой САУ, связанную с оптимальной весовой функцией преобразованием Фурье [2]

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.19)

таким образом, чтобы минимизировать значение ошибки Оценка влияния случайных воздействий на САУ. В результате преобразований выражения (3.3.18), с введением корреляционных функций по (3.2.4) и спектральных плотностей по (3.2.16) при замене нижнего предела интегрирования –∞ на 0 (поскольку в реальных САУ при t<0 w(t)=0), получается оптимальная передаточная функция (3.3.19), соответствующая оптимальной весовой функции, являющейся решением интегрального уравнения Винера—Хопфа [2]

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.20)

где Оценка влияния случайных воздействий на САУ(3.3.21)

В частном случае, когда оператор Н(р)=1 (случай оптимального сглаживания в следящей системе), получается

h(t)=g(t); Sφ(ω)=Sg(ω)+Sf(ω)+Sgf(ω)+Sfg(ω); Shφ(ω)=Sgφ(ω)=Sg(ω)+Sgf(ω).

В этом случае решение (3.3.20) можно представить в виде:

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.22)

Числитель в (3.3.22) определяется из анализа выражения [2]

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.23)

где из (3.3.20) Shφ(ω)=Sgφ(ω) и в (3.3.23) Оценка влияния случайных воздействий на САУ— полюсы Оценка влияния случайных воздействий на САУ, расположенные в верхней комплексной полуплоскости, Оценка влияния случайных воздействий на САУ— полюсы Оценка влияния случайных воздействий на САУ, расположенные в нижней комплексной полуплоскости (причём полюсы предполагаются простыми), а Оценка влияния случайных воздействий на САУ— нули Оценка влияния случайных воздействий на САУ

При этом числитель в (3.3.22) представляется выражением [2]:

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.24)

В САУ с полученной Фопт(jω) минимум среднего квадрата ошибки будет иметь значение [2, 8]:

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.25)

Пример 3.1. Найти оптимальные по минимуму среднего квадрата ошибки частотную и операторную функции передачи замкнутой САУ (рис. 3.3.2), на задающий вход которой воздействуют стационарные случайные процессы полезного сигнала g(t) и сигнала помехи f(t) со спектральными плотностями Оценка влияния случайных воздействий на САУи Оценка влияния случайных воздействий на САУ, причём корреляция между ними отсутствует Оценка влияния случайных воздействий на САУ

1) Определим спектральную плотность суммарного входного сигнала

Оценка влияния случайных воздействий на САУ(3.3.26)

где Оценка влияния случайных воздействий на САУ, Оценка влияния случайных воздействий на САУ

2) Будем искать оптимальную частотную передаточную функцию замкнутой САУ в форме (3.3.22) для случая Н(р)=1, соответствующего следящей системе с оптимальным сглаживанием [2]:

См. также:  Исследование устойчивости методом В.М. Попова

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.27)

3) Знаменатель в (3.3.27) определится по (3.3.21) с учётом (3.3.26) в виде:

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.28)

Сопряженное значение знаменателя из (3.3.28) будет:

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.29)

4) Для определения B(jω) в (3.3.27) рассмотрим выражение (3.3.23)

Оценка влияния случайных воздействий на САУ

(3.3.30)

В (3.3.30) методом неопределённых коэффициентов дробь второго порядка разложена на сумму дробей первого порядка с легко определяемыми полюсами:

Оценка влияния случайных воздействий на САУ

где Оценка влияния случайных воздействий на САУОценка влияния случайных воздействий на САУОценка влияния случайных воздействий на САУ

Оценка влияния случайных воздействий на САУОценка влияния случайных воздействий на САУ

5) Отбросив в (3.3.30) первое слагаемое, соответствующее полюсу в нижней полуплоскости, находим числитель оптимальной передаточной функции

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.31)

6) Оптимальная частотная передаточная функция в форме (3.3.22), с учётом выражений (3.3.31) и (3.3.28), получается в виде:

Оценка влияния случайных воздействий на САУ(3.3.32)

7) Оптимальная операторная функция передачи (ОФП) САУ будет иметь вид:

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.33)

Полученная оптимальная передаточная функция легко реализуется. При получении сложных оптимальных передаточных функций их считают идеальными функциями, к которым следует приближаться.

Пример 3.2. Вычислить средний квадрат ошибки на выходе замкнутой САУ (рис. 3.3.2) при подаче на вход САУ полезного детерминированного задающего сигнала g(t) зашумленного сигналом помехи в виде белого шума f(t), имеющего спектральную плотность Оценка влияния случайных воздействий на САУ.

Передаточная функция разомкнутой цепи САУ имеет вид

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.34)

Передаточная функция замкнутой САУ будет иметь вид

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.35)

Заменив в (3.3.35) p=jω, получаем частотную передаточную функцию

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.36)

По формуле (3.3.3) квадрат среднего значения ошибки на выходе САУ от случайного сигнала помехи на входе САУ определяется выражением

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.37)

Интеграл в (3.3.37) по (3.3.4) и (3.3.7) определяется выражением

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.38)

где из (3.3.36) по (3.3.6), (3.3.7), (3.3.8) и (3.3.9) получаются выражения:

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.39)

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.40)

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.41)

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.42)

Подставляя М3 и Δ2 в (3.3.38), найдём значение интеграла

Оценка влияния случайных воздействий на САУ(3.3.43)

Подставляя I3 в (3.3.37), найдём квадрат среднего значения ошибки

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.44)

Если полезный сигнал g(t) на входе САУ также является стационарным случайным процессом, то аналогично определяется среднее значение квадрата ошибки Оценка влияния случайных воздействий на САУна выходе САУ от сигнала g(t), а общая ошибка определяется суммой Оценка влияния случайных воздействий на САУ

Пример 3.3. Определим среднее значение квадрата ошибки в замкнутой САУ (рис. 3.3.2) от задающего сигнала g(t), который является нестационарным случайным процессом (рис. 3.3.1).

В этом случае среднее значение квадрата ошибки вычисляется относительно производной от сигнала g(t) в виде Оценка влияния случайных воздействий на САУ, который уже становится стационарным случайным процессом с соответствующей спектральной плотностью, например Оценка влияния случайных воздействий на САУ. Спектральную плотность процесса Оценка влияния случайных воздействий на САУможно определить по его корреляционной функции, получаемой при обработке кривой этого процесса во времени [2].

Передаточная функция по ошибке замкнутой САУ (рис. 3.3.2) с параметрами из примера 3.2 определится по (3.3.12) в виде

Оценка влияния случайных воздействий на САУ(3.3.45)

Поделив выражение (3.3.45) на р, получим

Оценка влияния случайных воздействий на САУ(3.3.46)

Среднее значение квадрата ошибки по (3.3.3) с учётом (3.3.4)—(3.3.6) определяется выражением

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.47)

Вычисление интеграла I3! в (3.3.47) по (3.3.7)—(3.3.9) с учетом (3.3.46) запишется в виде

Оценка влияния случайных воздействий на САУ

(3.3.48)

Определим значения коэффициентов в знаменателе и числителе выражения (3.3.48) для вычисления интеграла М3 по формулам (3.3.7)—(3.3.9):

Оценка влияния случайных воздействий на САУ

где Оценка влияния случайных воздействий на САУ

Оценка влияния случайных воздействий на САУ

где Оценка влияния случайных воздействий на САУ

Значения коэффициентов в формуле (3.3.48) рассчитываются по выражениям (3.3.8) и (3.3.9)

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.49)

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.50)

С учётом полученных выражений, среднее значение квадрата ошибки по (3.3.47) запишется:

Оценка влияния случайных воздействий на САУ (3.3.51)