Исследование устойчивости методами Ляпунова

Первый метод Ляпунова основан на линеаризации нелинейного уравнения движения системы с разложением нелинейных функций в ряд Тейлора и учетом только членов первого порядка [1, 2, 6].

Представим уравнения движения системы в виде:

Исследование устойчивости методами Ляпунова(4.3.6)

где Исследование устойчивости методами Ляпунова

Линейные уравнения первого приближения из (4.3.6) будут

Исследование устойчивости методами Ляпунова(4.3.7)

Для этих случаев А.М. Ляпунов доказал следующие теоремы [1, 2, 6, 19].

Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения системы первого приближения (4.3.7) имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение нелинейной системы асимптотически устойчиво при любых членах высших порядков в уравнениях возмущенного движения (4.3.6).

Теорема 2. Невозмущенное движение неустойчиво, если среди корней характеристического уравнения первого приближения (4.3.7) хотя бы один корень имеет положительную вещественную часть.

Теорема 3. Если характеристическое уравнение системы первого приближения (4.3.7) имеет нулевые корни, то устойчивость нелинейной системы должна определяться с учетом членов высших порядков в разложении уравнения возмущенного движения в ряд Тейлора, что требует дополнительных исследований.

Данные теоремы Ляпунова позволяют исследовать устойчивость нелинейной САУ методами теории линейных систем. Однако эти методы применимы только к системам с гладкими нелинейностями.

Второй (прямой) метод Ляпунова более универсален и не требует решения дифференциальных уравнений [1, 2, 19]. Метод позволяет выявить достаточные условия устойчивости на основе качественной теории уравнений и совместного использования уравнений движения системы в фазовом пространстве и специальной функции Ляпунова V(x).

Функции Ляпунова V(x) являются аналогами потенциальных функций в потенциальном поле фазовых координат системы Исследование устойчивости методами Ляпуновавыражающих потенциальную энергию, достигающую минимума в начале координат. Функция V(x) называется знакоопределенной, если в рассматриваемой области, содержащей начало координат, сохраняет один и тот же знак и обращается в нуль только в начале координат (например, при n=3 это Исследование устойчивости методами ЛяпуноваЗнакоопределенная функция V(x) может быть положительно определенной или отрицательно определенной. Если функция V(x) сохраняет один и тот же знак, но обращается в нуль не только в начале координат, то такая функция называется знакопостоянной (положительной или отрицательной). Например, при n=3 Исследование устойчивости методами Ляпуноваобращается в нуль при Исследование устойчивости методами Ляпуноваи при Исследование устойчивости методами Ляпунова. Наконец, функция V(x) называется знакопеременной, если она в рассматриваемой области не сохраняет один и тот же знак (например, функция Исследование устойчивости методами Ляпунова).

См. также:  Инструментальные средства АСУ

При исследовании устойчивости нелинейных САУ прямым методом Ляпунова изучается поведение функции V(x) вдоль фазовых траекторий, определяемых уравнениями движения. Если функция V(x) имеет отрицательную производную во времени (dV/dt)<0, то с возрастанием времени она убывает и фазовая траектория пересекает поверхности убывающего уровня функции V(x) по направлению к началу координат. Это соответствует устойчивой системе.

Для этих случаев А.М. Ляпунов сформулировал следующие теоремы [1, 2, 6, 19].

Теорема 1. Если существует знакоопределённая функция V(x1, x2,…, xn), полная производная которой по времени dV/dt в силу дифференциальных уравнений является знакопостоянной функцией противоположного с V(x) знака, то невозмущенное движение устойчиво.

Теорема 2. Если существует знакоопределённая функция V(x1, x2,…, xn), полная производная которой по времени в силу дифференциальных уравнений является знакоопределенной функцией противоположного с V(x) знака, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Теорема 3. Если существует знакопостоянная функция V(x1, x2,…, xn), полная производная которой по времени в силу дифференциальных уравнений является знакопостоянной функцией одинакового с V(x) знака, то невозмущенное движение неустойчиво.

Теорема 4. Если существует знакоопределённая функция V(x1, x2,…,xn, t), полная производная по времени которой в силу дифференциальных уравнений является знакопостоянной, или тождественно равной нулю, функцией, то невозмущенное движение устойчиво.

Теорема 5. Если существует функция V(x1, x2,…, xn, t), удовлетворяющая условиям предыдущей теоремы, допускающая бесконечно малый высший предел, а производная которой представляет знакоопределенную функцию противоположного с V знака, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Приведенные теоремы дают только достаточные, но не необходимые условия устойчивости или неустойчивости САУ и не указывают пути нахождения подходящих функций V, в чем состоит основная трудность применения данного метода.

Пример 4.5. Определим устойчивость нелинейной САУ, описываемой дифференциальным уравнением

См. также:  Датчики постоянного тока с магнитодиодами

Исследование устойчивости методами Ляпунова[19].

Обозначим Исследование устойчивости методами Ляпуноваи получим уравнения в форме Коши

2.1.656 Исследование устойчивости методами Ляпунова(4.3.8)

Выберем функцию Ляпунова в виде Исследование устойчивости методами Ляпуновапоскольку её производная по времени после подстановок выражений Исследование устойчивости методами Ляпуноваи Исследование устойчивости методами Ляпуноваиз дифференциальных уравнений (4.3.8) САУ Исследование устойчивости методами Ляпуноваотрицательна и равна нулю только в начале координат. Кривые V=const являются окружностями с центром в начале координат, а отрицательный знак производной dV/dt указывает на приближение фазовой траектории к началу координат с течением времени, что по теореме 2 соответствует асимптотически устойчивой нелинейной системе.