Исследование устойчивости методом В.М. Попова

Обширный класс нелинейных САУ имеет структуру из линейной части и нелинейного элемента (рис. 4.2.4) с различными нелинейными статическими характеристиками класса y=F(x), расположенными в заданном угле arctgk (рис. 4.3.2, а). Разнообразие и нестабильность нелинейных характеристик в таких САУ приводят к необходимости их абсолютной устойчивости, при которой достигается асимптотическая устойчивость в целом при любой нелинейности, расположенной внутри заданного угла arctgk. Однако сложность решения этой задачи долгое время ограничивала возможности её практической реализации.

В 1960 г. румынский ученый В.М. Попов предложил использовать метод частотных характеристик для решения задачи абсолютной устойчивости нелинейных САУ с однозначной статической нелинейностью F(x) любого вида, расположенной в угловом секторе между осью абсцисс и прямой с угловым коэффициентом k (рис. 4.3.2, а) [1, 2, 6, 19].

Исследование устойчивости методом В.М. Попова

Рис. 4.3.2 — Критерий абсолютной устойчивости В.М. Попова.

Пусть в нелинейной САУ линейная часть имеет W(p)=P(p)/Q(p), где характеристическое уравнение Q(p)=apn+ +a1pn –1+…+an –1p+an=0 имеет все левые корни и не более двух нулевых корней a0=0 и a1=0, а однозначная нелинейность не выходит за пределы заданного угла arctgk

<y=F(x); F(x=0)=0. (4.3.9)

Для таких САУ В.М. Попов сформулировал следующую теорему: для обеспечения устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такое конечное действительное число q, при котором при всех ω ≥ 0 вещественная часть функции

Re[(1+jωq)W(jω)+1/k]>0, (4.3.10)

где W(jω) — АФХ линейной части САУ, получаемой из W(p) при р=jω.

На границе устойчивости, при X=Re[W(jω)]; Y=ωIm[W(jω)], из (4.3.10) получим уравнение «прямой Попова» XqY+1/k=0, проходящей через точку (–1/k; j0) c наклоном 1/q.

При наличии одного нулевого корня в Q(p)=0 также требуется, чтобы ImW(jω)–∞ при ω, а при двух нулевых корнях требуется, чтобы ReW(jω)–∞ при ω0, а ImW(jω)<0 при малых значениях ω.

См. также:  Инвариантность САУ

Удобная графическая интерпретация теоремы В.М. Попова получается при введении модифицированной АФХ линейной части САУ [1, 15]

2.1.672 Исследование устойчивости методом В.М. Попова(4.3.11)

где Т0=1 сек — нормирующий множитель [1].

В этом случае из теоремы В.М. Попова получается следующая формулировка критерия устойчивости: для абсолютной устойчивости нелинейной системы с одним безынерционным нелинейным элементом, нелинейная характеристика которого лежит в секторе (0,k) (рис. 4.3.2, а), достаточно, чтобы на плоскости модифицированной частотной характеристики W*(jw) через точку (–1/k, 0) можно было провести прямую Попова так, чтобы характеристика W*(jw) лежала справа от этой прямой [19].

На рис. 4.3.2, б показан случай, когда критерий удовлетворяется, а на рис. 4.3.2, в, г — случаи, когда критерий не удовлетворяется.

Графические формулировки критерия устойчивости В.М. По-пова требуют, чтобы АФХ линейной части САУ не охватывала точку (1/k, j0) на комплексной плоскости аналогично критерию устойчивости Найквиста для линейных САУ, по которому АФХ не должна охватывать точку (1, j0).

Достоинства метода В.М. Попова состоят в простоте графической формы его применения при любой сложности линейной части САУ и численно заданных коэффициентах; в возможности использования экспериментально снятой характеристики W(jω) линейной части САУ, которую нужно перестроить в W*(jω); в возможности наличия неизвестной нелинейности при известных пределах угла, в котором она располагается.

Пример 4.6. Определим методом В.М. Попова абсолютную устойчивость равновесия нелинейной САУ, состоящей из трехпозиционного релейного элемента (рис. 4.3.3, а) с параметрами b=1, c=8 и линейной части с АФХ:

Исследование устойчивости методом В.М. Попова(4.3.12)

где kЛ=0,25; τ = 0,1 с; Т = 10 с.

Исследование устойчивости методом В.М. Попова

Рис. 4.3.3 — Определение абсолютной устойчивости

Представим АФХ (4.3.12) в комплексной алгебраической форме:

2.1.684 Исследование устойчивости методом В.М. Попова(4.3.13)

Соответственно (4.3.11) модифицированная АФХ (рис. 4.3.3, б) запишется:

См. также:  Качество нелинейных САУ

2.1.686 Исследование устойчивости методом В.М. Попова(4.3.14)

Нелинейная характеристика (рис. 4.3.3, а) располагается внутри сектора, ограниченного прямой с наклоном k=c/b= =8/1=8, проходящей через начало координат под углом α=arctgk=arctg8=82,8°. Модифицированная АФХ, построенная по формуле (4.3.14), имеет вид, представленный на рис. 4.3.3, б.

Для самого неблагоприятного случая из (4.3.10) при q (arctg 1/q90°) проводим вертикальную прямую 1 через точку с координатами (–1/k=–1/8=–0,125; j0), которая не пересекается с W*(jω) (АФХ располагается справа от этой прямой). Следовательно, равновесие нелинейной САУ при данных параметрах абсолютно устойчиво.

Рассмотренный метод также позволяет решать обратные задачи определения допустимых по условиям абсолютной устойчивости изменений параметров нелинейности. Например, для определения допустимого уменьшения зоны нечувствительности , приводящего к повышению крутизны k, проведем касательную 2 к характеристике W*(jw), которая отражает границу устойчивости САУ при уменьшении значения модуля 1/k. Касательная 2 пересекает действительную ось комплексной плоскости в точке 1/ » –0,117. Следовательно, граница увеличения углового коэффициента = 1/0,117» 8,55; а для минимальной зоны нечувствительности = c/kД=8/8,55 » 0,936. При b< 0,936 состояние равновесия системы будет неустойчивым.