Алгебраический метод анализа автоколебаний

Для исследования возможности возникновения устойчивых автоколебаний в нелинейной САУ и определения их амплитуды можно воспользоваться критерием Гурвица [1, 2, 19]. Для этого безынерционный нелинейный элемент заменяется усилительным звеном с гармонически линеаризованным коэффициентом передачи J(A), зависящим от амплитуды А входного сигнала, и на основе методов теории линейных САУ составляется характеристическое уравнение линеаризованной замкнутой САУ. Из коэффициентов этого уравнения составляются определители Гурвица, которые будут функциями амплитуды автоколебаний. Приравнивая определители Гурвица нулю и решая полученные алгебраические уравнения, находим границу устойчивости САУ. Из уравнения границы устойчивости определяется амплитуда возможных автоколебаний.

Для проверки устойчивости автоколебаний следует дать приращение рассчитанной амплитуде возможных автоколебаний. Если при увеличении амплитуды определители Гурвица становятся положительными, а при уменьшении — отрицательными, то в нелинейной САУ имеют место устойчивые автоколебания. Это объясняется тем, что при увеличении амплитуды колебаний условия устойчивости САУ выполняются и амплитуда колебаний уменьшается, пока не станет равной амплитуде автоколебаний. При уменьшении амплитуды колебаний САУ становится неустойчивой, и амплитуда колебаний возрастает до амплитуды автоколебаний.

Если увеличение амплитуды колебаний приводит к невыполнению условий устойчивости, то в САУ будут расходящиеся колебания.

Если уменьшение амплитуды колебаний приводит к выполнению условий устойчивости, то в САУ будут затухающие колебания.

Пример 4.7. Определим возможность возникновения автоколебаний и их амплитуду в нелинейной САУ, содержащей НЭ с зоной нечувствительности а=±4 В и единичным коэффициентом наклона линейной части (tgα=1), если характеристическое уравнение линеаризованной замкнутой САУ, где НЭ представлен безынерционным звеном с гармоническим коэффициентом передачи J(A), имеет вид

Алгебраический метод анализа автоколебаний(4.3.15)

Гармонический коэффициент передачи J(A) нелинейного элемента (НЭ) представляет собой отношение первой гармонической составляющей на выходе НЭ Алгебраический метод анализа автоколебанийк гармоническому сигналу на входе НЭ Алгебраический метод анализа автоколебаний, выраженных в комплексной форме

См. также:  Оценка качества методами численного интегрирования

Алгебраический метод анализа автоколебаний(4.3.16)

или

2.1.701 Алгебраический метод анализа автоколебаний(4.3.17)

где Алгебраический метод анализа автоколебаний— амплитуда первой гармонической составляющей на выходе НЭ Алгебраический метод анализа автоколебанийАлгебраический метод анализа автоколебаний— сдвиг фазы первой гармоники нелинейным элементом; q(A) и q’(A) — коэффициенты гармонической линеаризации НЭ.

Для безынерционных НЭ гармонический коэффициент передачи зависит только от амплитуды q(A), поскольку q’(A)=0.

Для определения гармонического коэффициента передачи НЭ с зоной нечувствительности найдем амплитуду первой гармоники выходного сигнала

Алгебраический метод анализа автоколебаний(4.3.18)

где ψ=ωt.

Из-за наличия у НЭ зоны нечувствительности ±а синусоидальный сигнал на выходе НЭ будет отсутствовать y(ψ)=0 в пределах 0<ψ<β, где β=arcsin(a/A), а в пределах β ψ π/2 его амплитуда будет срезана y(ψ)=tgα(A sinψ a), где α — угол наклона линейной части характеристики. В результате из (4.3.18) получим

Алгебраический метод анализа автоколебаний

(4.3.19)

Тогда гармонический коэффициент передачи НЭ с зоной нечувствительности определится формулой:

Алгебраический метод анализа автоколебаний(4.3.20)

На практике для удобства исследований может использоваться нормированный гармонический коэффициент передачи, который является не функцией амплитуды А, а функцией относительной амплитуды A/a, т.е. отношения амплитуды к параметру нелинейности при постоянном наклоне линейной части нелинейной характеристики tgα=1

2.1.713 Алгебраический метод анализа автоколебаний(4.3.21)

β=arcsin(a/A).

Из характеристического уравнения линеаризованной замкнутой САУ (4.3.15) на основании критерия Гурвица для системы третьего порядка находим уравнение для границы устойчивости

2.1.716 Алгебраический метод анализа автоколебаний(4.3.22)

2.1.717 Из (4.3.22) гармонический коэффициент передачи J(A)= =0,3762.

2.1.718 По (4.3.20) при приближенной замене sin2β ≈2β ввиду малости β:

2.1.719 Алгебраический метод анализа автоколебаний(4.3.23)