Обработка информации с датчиков

Датчики

В САУ циркулирующие в системе сигналы информации поступают в управляющую ЭВМ в дискретные моменты времени, между которыми сведения об изменениях сигналов информации отсутствуют. Поступающая в ЭВМ информация может содержать сигналы помех, нарушающих нормальную работу САУ. Поэтому в САУ осуществляется обработка информации с целью подавления помех и приведения сигналов к виду, необходимому для нормальной работы САУ. При обработке сигналов информации в САУ обычно осуществляются операции их фильтрации, интерполяции и экстраполяции, выполняемые устройствами с RC-филь-трами, операционными усилителями, электронно-вычислитель-ными элементами или ЭВМ с соответствующим программно-алгоритмическим обеспечением [1, 2, 19, 20].

Фильтрация сигналов информации в САУ представляет собой в общем случае инерционное преобразование входного сигнала x(t) с целью выделения полезной информации y(t) и подавления сигналов внешних и внутренних помех h(t). Сигналы внешних помех создаются электроустановками (электросварка, коммутация токов потребителей, трамваев, троллейбусов, излучающей электромагнитной аппаратуры) и грозовыми разрядами в атмосфере. Сигналы внутренних помех возникают в собственной аппаратуре САУ при дискретизации сигналов информации (шумы квантования), пульсациях и скачках тока, флюктуациях тока и шумах в полупроводниковых приборах и др. [1, 2]. Результат фильтрации в виде выходного сигнала ЭВМ y(t) может быть определен либо заданием функционала

Обработка информации с датчиков (8.3.1)

либо заданием дифференциального уравнения преобразования

Обработка информации с датчиков (8.3.2)

где f — заданная функция, n=1, 2,…

Если при всех t (8.3.1) зависит только от реализации x(τ) на интервале времени до момента t, то операции (8.3.1) могут быть выполнены в реальном времени физически реализуемым фильтром. Операции (8.3.2) всегда физически реализуемы, если известны начальные условия в некоторый момент времени t0<t. Если функционал (8.3.1) зависит от реализации x(τ) только на интервале (tT, t) при Т>0, то фильтр называется фильтром с конечной памятью Т. Если функционал (8.3.1) зависит только от последовательности дискретных значений xi=x(ti) (i=–,…, –1, 0, 1,…, n, tnt), то такой фильтр называется дискретым и уравнение (8.3.2) при этом заменяется разностным уравнением или рекурентным соотношением.

Линейная фильтрация является частным случаем, в котором уравнение фильтра (8.3.2) линейно относительно всех аргументов, кроме t, тогда функционал (8.3.1) приобретает вид

Обработка информации с датчиков (8.3.3)

где tмомент начала реализации x(τ); k(t,τ)импульсная реакция (отклик фильтра в момент t на входной сигнал в виде δ-функции, поданный в момент τ).

Примером линейного фильтра является фильтр низкой частоты с передаточной функцией W(p)=K/(1+pT), имеющий полосу равномерного пропускания частот от 0 до ωC=1/T с уменьшением К на 20 дБ/дек при ωωС. Более крутопадающую амплитудно-частотную характеристику (АЧХ), близкую по форме к прямоугольной характеристике идеального фильтра, имеет так называемый фильтр Баттерворта с АЧХ Обработка информации с датчиковпри n=28. Алгоритмы реализации фильтров на ЭВМ аналогичны выражениям (8.1.2)—(8.1.5).

См. также:  Типовые модели СМО

Примерами линейных фильтров также являются линейные замкнутые САУ, на входе которых действует сигнал с помехами x(t), а на выходе формируется реакция y(t) на полезную входную информацию.

Нелинейная фильтрация осуществляется при прохождении сигнала через линейный фильтр и безынерционное нелинейное звено — второй линейный фильтр. При этом (8.3.1) можно представить в виде:

Обработка информации с датчиков (8.3.4)

где hi(t,τ), ki(t,τ)импульсные реакции линейных фильтров, fi(z)функции нелинейного фильтра (например: f1(z)=|z|, f2(z)=z2 и т.д.).

Более сложным нелинейным фильтром является замкнутый контур, содержащий безынерционный нелинейный элемент.

Оптимальная фильтрация осуществляется при оптимальном в определенном смысле преобразовании входного сигнала x(t). Оптимальность преобразования входного сигнала может заключаться в воспроизведении полезного сигнала, представляющего одну из компонент z(t) входного сигнала x(t), либо некоторого функционала z(t)=f[x(t)] (например, производную от x(t) в заданной точке; предсказываемое значение x(t) в заданный момент времени и др.). При этом остальные компоненты сигнала x(t) рассматриваются как помехи, подлежащие устранению в процессе оптимальной фильтрации. Выходной сигнал y(t) оптимального фильтра служит оценкой функции z(t), поэтому y(t) должен максимально приближаться к z(t).

Общий метод синтеза оптимальных фильтров дает теория статистических решений. При синтезе заданными считаются: 1)способ кодирования z(t) в x(t), т.е. способ комбинирования полезного сигнала с помехами; 2) статистические характеристики x(t) и z(t); 3) функция потерь, т.е. количественная мера отличия y(t) от z(t), которая определяет критерий синтеза. Наиболее простым является случай, когда сигнал x(t)=z(t)+n(t) представляет аддитивную смесь полезного сигнала z(t) и сигнала помехи n(t). Для этого случая разработана теория оптимальной линейной фильтрации, в которой оптимизация производится по минимуму среднеквадратичного отклонения y(t) от z(t). При этом для определения импульсной реакции линейного оптимального фильтра k(t,τ) необходимо знать только корреляционные функции Обработка информации с датчикови Обработка информации с датчиковЕсли входной сигнал x(t) наблюдается на интервале (t0,t), функция k(t,τ) определяется интегральным уравнением

Обработка информации с датчиков (8.3.5)

Уравнение (8.3.5) остается справедливым и в случае, когда z(t) и x(t) являются многомерными процессами. При этом KXZ и KZZ представляют собой соответствующие корреляционные матрицы.

Линейный оптимальный фильтр, определяемый уравнением (8.3.5), является наилучшим среди любых линейных и нелинейных фильтров для случаев, когда сигнал помехи n(t) является гауссовским случайным процессом, а полезный сигнал z(t) — либо гауссовским процессом, либо процессом с неизвестным распределением вероятностей, обладающим известной функцией корреляции. При этом функция потерь является симметричной функцией разности y(t)–z(t). В других практических случаях, когда полезный сигнал z(t) сложно закодирован в x(t), оптимальный фильтр представляется нелинейной системой с обратной связью.

Оптимальное по критерию минимума среднеквадратичной ошибки управление в САУ с управляющей ЭВМ при известных статистических характеристиках полезного сигнала и сигнала помехи на входе САУ обеспечивают цифровые винеровские фильтры, реализующие оптимальную частотную передаточную функцию замкнутой САУ H(jω) [2]. Оптимальная передаточная функция замкнутой САУ H(р) определяется с учетом полезного сигнала u(t), сигнала помехи v(t), входного сигнала r(t)=u(t)+ +v(t), желаемого значения управляемой величины g(t), ошибки управления e(t)=g(t)–y(t), управляемой величины y(t), оператора обработки полезного сигнала H0(p) (рис. 8.3.1). Критерием оптимальности является минимум дисперсии ошибки [2].

См. также:  Математическое описание дискретных САУ

Интерполяция и экстраполяция сигналов информации в САУс ЭВМ необходимы для определения непрерывных значений управляемой величины y от времени или от другого аргумента x на интервалах между дискретно заданными её значениями y[xn]=f[xn] (n=0,1,2,3,…), поскольку рабочие движения y(x)=f(x) при этом должны совершаться не ступенчато, а непрерывно. Для получения непрерывной информации о текущем значении функции f(x) используется интерполяция и экстраполяция по дискретно заданным значениям функции y[xn]=f[xn], называемым узлами интерполяции или опорными точками траектории изменения интерполируемой функции [3, 19].

Обработка информации с датчиков

Рис. 8.3.1 — Оптимальный фильтр Винера

Интерполяция — это определение значений функции в некоторой точке внутри известных значений функции слева и справа от неё.

Экстраполяция — это определение значений функции в некоторой точке по известным значениям слева от неё (экстраполяция вперед, предсказание) или справа от неё (экстраполяция назад), т.е. определение значений функции за пределами её известных значений.

Целью интерполяции является вычисление непрерывной интерполирующей функции Y(x), восстанавливающей непрерывные значения интерполируемой функции y(x) на заданном отрезке траектории по значениям координат опорных точек y[xn]. Интерполирующая функция Y(x) должна точно совпадать с интерполируемой функцией y(x) в узлах интерполяции (в опорных точках) y[xn] и возможно меньше отличаться от y(x) в промежутках между узлами интерполяции y[xn]. Интерполяция осуществляется специальными вычислительными устройствами (интерполяторами) или цифровыми ЭВМ, работающими по определенным программам.

По способу аппроксимации функции между узлами интерполяции могут использоваться различные методы интерполяции, интерполяционные формулы которых сопоставляют интерполирующую функцию заданного класса Y(x)=Y(x, x0, x1, x2,…, xn), зависящую от n+1 параметров x, выбранных так, чтобы значения Y(x) совпадали со значениями y(x) для данного множества n+1 значений аргумента xk (узлов интерполяции) Y(xk)=y(xk)=yk.

Наиболее простым является метод линейной интерполяции, называемый интерполяцией первого порядка. При этом считается, что между соседними опорными точками траектории y[x0] и y[x1] приращение интерполируемой функции Δ1=y[x1]–y[x0] пропорционально приращению аргумента h1=x1–x0. Тогда текущее значение Y(x) интерполируемой непрерывной функции y(x) на интервале между двумя заданными опорными точками траектории y[x0] и y[x1] вычисляется по интерполяционной формуле

См. также:  Электромагнитные муфты скольжения

Обработка информации с датчиков(8.3.6)

Текущее значение интерполяционной поправки между опорными точками вычисляется из формулы

Обработка информации с датчиков.

Погрешность линейной интерполяции функции по (8.3.6) не превышает единицы младшего разряда значащей цифры, если две соседние разности Δ0 и Δ1 отличаются не более, чем на четыре единицы младшего разряда. Если это условие не выполняется, что свидетельствует о резких изменениях интерполируемой функции, то для обеспечения приемлемой точности интерполяции нужно использовать методы интерполяции второго и более высокого порядка, например квадратичную или параболическую интерполяцию.

В общем случае при параболической интерполяции n-го порядка какова бы ни была заданная функция f(x) и как бы ни были выбраны узлы интерполяции (опорные точки) f0=f(x0),…, fn=f(xn), всегда существует единственный интерполяционный многочлен n-степени φn(x), принимающий в этих точках те же значения, что и f(x): φ(xi)=f(xi) (i=0,1,2,…,n). Для вычисления такого интерполяционного многочлена может использоваться формула Лагранжа:

Обработка информации с датчиков (8.3.7)

где

Обработка информации с датчиков(8.3.8)

В САУ с ЭВМ информация формируется дискретно с постоянным периодом квантования, и поэтому интерполяционные узлы часто располагаются на равном расстоянии друг от друга, что упрощает интерполяцию. В этих случаях постоянная величина h=xi+1 – xi называется шагом интерполяции дискретной функции y(xk) при xk=x0+hk, где k — целые числа (эти обозначения сохраняются и при отрицательных значениях k<0). Первые разности функции относительно данного шага интерполяции h определяются формулами:

Обработка информации с датчиков (8.3.9)

Разности первых разностей образуют разности 2-го порядка (или вторые разности):

Обработка информации с датчиков (8.3.10)

Так же определяются и разности более высоких порядков.

Для интерполяции по заданным дискретным значениям функции fk(xk) составляется таблица разностей по следующей схеме [3]:

Обработка информации с датчиков

С использованием разностей интерполяционный многочлен определяется по следующим формулам, где обозначено u=(xx0)/h:

формулы Ньютона

Обработка информации с датчиков(8.3.11)

Обработка информации с датчиков

(8.3.12)

формула Стирлинга

Обработка информации с датчиков(8.3.13)

формула Бесселя

Обработка информации с датчиков(8.3.14)

Формулы Ньютона дают интерполяционный многочлен, если x является первым или последним из интерполяционных узлов дискретной функции, тогда как для формул Стирлинга и Бесселя x0 является средним или одним из средних интерполяционных узлов.

Погрешности интерполяции и экстраполяции зависят от точности измерения координат узлов интерполяции. Если f(x) измерена с ошибкой ε, то в Δf(x) ошибка уже будет 2ε, в Δ2f(x) ошибка будет 4ε и т.д. Поэтому при измерениях и расчётах в значениях координат узлов интерполяции нельзя отбрасывать последние значащие цифры.

При аналитическом задании интерполируемой функции f(x) погрешность от замены функции f(x) интерполяционным многочленом φn(x) может быть вычислена по формуле Лагранжа в виде:

Обработка информации с датчиков (8.3.15)

где ξ есть промежуточное значение между наибольшим и наименьшим из чисел x, x0, x1,…, xn.